Fonctions bornées, comparaison, opérations, variations d'une composée

8.1 Fonctions majorées, minorées, bornées

Définitions. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est majorée sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x \in I$, $f(x) \leq M$. Le réel $M$ est un majorant de $f$ sur $I$.
• $f$ est minorée sur $I$ s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $x \in I$, $f(x) \geq m$. Le réel $m$ est un minorant de $f$ sur $I$.
• $f$ est bornée sur $I$ si elle est à la fois majorée et minorée sur $I$.

Lecture graphique. $f$ est bornée sur $I$ si, au-dessus de $I$, sa courbe reste entre deux droites horizontales $y = m$ et $y = M$.

Remarques.

• Un majorant n'est pas unique : si $M$ est un majorant, $M + 1$ en est un aussi. Un majorant atteint est le maximum de $f$ sur $I$.
• $f$ est bornée sur $I$ si et seulement s'il existe un réel $M \geq 0$ tel que, pour tout $x \in I$, $|f(x)| \leq M$.

Exemple 32.

• $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ : pour tout réel $x$, $1 + x^2 \geq 1$, donc $0 < f(x) \leq 1$. $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ ; $1 = f(0)$ est son maximum ; $0$ est un minorant qui n'est pas atteint.
• $x \mapsto x^2$ est minorée par $0$ sur $\mathbb{R}$, mais pas majorée : pour tout réel $M > 0$, le réel $x = M + 1$ vérifie $x^2 > M$. Sur $[-1\,;2]$, elle est bornée : $0 \leq x^2 \leq 4$.
• Sinus et cosinus sont bornées sur $\mathbb{R}$, par $-1$ et $1$.
• La fonction inverse est minorée par $0$ sur $]0\,;+\infty[$, mais pas majorée : pour $M > 0$, $\dfrac{1}{x} > M$ dès que $0 < x < \dfrac1M$.

Exemple 33. Montrons que $g(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$ : $\frac32 - g(x) = \frac{3(x^2 + 1) - 6x}{2(x^2+1)} = \frac{3(x - 1)^2}{2(x^2 + 1)} \geq 0 \qquad \text{et} \qquad g(x) + \frac32 = \frac{3(x + 1)^2}{2(x^2 + 1)} \geq 0.$ Donc $-\dfrac32 \leq g(x) \leq \dfrac32$, soit $|g(x)| \leq \dfrac32$. Les deux bornes sont atteintes : $g(1) = \dfrac32$ et $g(-1) = -\dfrac32$.

8.2 Comparaison de deux fonctions

Définitions. Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$.

• $f \leq g$ sur $I$ signifie : pour tout $x \in I$, $f(x) \leq g(x)$. Graphiquement, $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $I$.
• $f = g$ signifie que $f$ et $g$ ont le même ensemble de définition et que $f(x) = g(x)$ pour tout $x$ de cet ensemble.

Méthode. Pour comparer $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence $g(x) - f(x)$.

Exemple 34. Comparons $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$. On a $g(x) - f(x) = x^2 - x = x(x - 1)$, positif sur $]-\infty\,;0]$ et sur $[1\,;+\infty[$, négatif sur $[0\,;1]$. Donc $x^2 \geq x$ sur $]-\infty\,;0] \cup [1\,;+\infty[$, et $x^2 \leq x$ sur $[0\,;1]$ : entre $0$ et $1$, la parabole est sous la droite.

Exemple 35. Les fonctions $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ et $g(x) = x + 1$ ne sont pas égales : $f(x) = g(x)$ pour tout $x \neq 1$, mais $f$ n'est pas définie en $1$, alors que $g$ l'est.

8.3 Opérations sur les fonctions

Définitions. Soit $f$ et $g$ deux fonctions, et $k$ un réel.

• Les fonctions $f + g$, $f - g$ et $f \times g$ sont définies sur $D_f \cap D_g$ par $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$, $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$ et $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$.
• La fonction $kf$ est définie sur $D_f$ par $(kf)(x) = k \times f(x)$.
• La fonction $\dfrac{f}{g}$ est définie sur $D_f \cap D_g$, privé des réels où $g$ s'annule, par $\left(\dfrac fg\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Exemple 36. Soit $f(x) = \sqrt x$ et $g(x) = x - 2$. La fonction $f + g$ est définie sur $[0\,;+\infty[$. La fonction $\dfrac{f}{g} : x \mapsto \dfrac{\sqrt x}{x - 2}$ est définie sur $[0\,;2[ \,\cup\, ]2\,;+\infty[$.

8.4 Sens de variation d'une composée

Théorème. Soit $u$ une fonction monotone sur un intervalle $I$, et $v$ une fonction monotone sur un intervalle $J$ qui contient $u(I)$.

• Si $u$ et $v$ ont le même sens de variation, $v \circ u$ est croissante sur $I$.
• Si $u$ et $v$ ont des sens de variation contraires, $v \circ u$ est décroissante sur $I$.

Démonstration (un cas : $u$ décroissante, $v$ croissante). Soit $x_1 < x_2$ dans $I$. Comme $u$ est décroissante, $u(x_1) \geq u(x_2)$, et ces deux nombres sont dans $J$. Comme $v$ est croissante sur $J$, $v\big(u(x_1)\big) \geq v\big(u(x_2)\big)$. Donc $v \circ u$ est décroissante sur $I$. Les trois autres cas se démontrent de la même façon.

Exemple 37. Soit $h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} = (v \circ u)(x)$ avec $u(x) = x^2 + 1$ et $v(t) = \dfrac1t$.

• Sur $]-\infty\,;0]$, $u$ est décroissante, à valeurs dans $[1\,;+\infty[$, où $v$ est décroissante : même sens, donc $h$ est croissante.
• Sur $[0\,;+\infty[$, $u$ est croissante, à valeurs dans $[1\,;+\infty[$, où $v$ est décroissante : sens contraires, donc $h$ est décroissante.

La fonction $h$ admet donc un maximum en $0$ : $h(0) = 1$.

Exemple 38. Soit $f(x) = x^4 - 2x^2 = (x^2 - 1)^2 - 1$, de l'exemple 8. On écrit $f = v \circ u$ avec $u(x) = x^2$ et $v(t) = (t - 1)^2 - 1$.

• Sur $[0\,;1]$, $u$ est croissante, à valeurs dans $[0\,;1]$, où $v$ est décroissante : $f$ est décroissante.
• Sur $[1\,;+\infty[$, $u$ est croissante, à valeurs dans $[1\,;+\infty[$, où $v$ est croissante : $f$ est croissante.

Comme $f$ est paire, elle est croissante sur $[-1\,;0]$ et décroissante sur $]-\infty\,;-1]$. Son minimum est $f(-1) = f(1) = -1$.

Exemple 39. Soit $k(x) = \sqrt{4 - x^2}$ sur $[-2\,;2]$ (exemple 25). La fonction $u(x) = 4 - x^2$ est croissante sur $[-2\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;2]$, à valeurs dans $[0\,;4]$ ; la racine carrée est croissante. Donc $k$ est croissante sur $[-2\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;2]$, de maximum $k(0) = 2$.