Généralités sur les fonctions

1. Question 1 sur 17Soit $f(x) = x^2$ . Alors $f\big([-3\,;1]\big) =$

   A $[1\,;9]$ B $[0\,;9]$ C $[-3\,;1]$ D $[0\,;1]$

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   Réponse B. Sur $[-3\,;1]$ , $f$ décroît de $9$ à $0$ , puis croît jusqu'à $1$ . La plus petite valeur est $0 = f(0)$ , la plus grande $9 = f(-3)$ . La réponse A oublie la valeur $0$ , atteinte entre les bornes.

2. Question 2 sur 17Soit $f(x) = x^2$ . Alors $f^{-1}\big([4\,;9]\big) =$

   A $[2\,;3]$ B $[16\,;81]$ C $[-3\,;3]$ D $[-3\,;-2] \cup [2\,;3]$

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   Réponse D. $4 \leq x^2 \leq 9 \iff 2 \leq |x| \leq 3$ . La réponse A oublie les nombres négatifs ; la réponse B calcule des images au lieu d'antécédents.

3. Question 3 sur 17$f$ est décroissante sur $[1\,;5]$ , sa courbe y est tracée sans lever le crayon, $f(1) = 4$ et $f(5) = -2$ . Alors $f\big([1\,;5]\big) =$

   A $[-2\,;4]$ B $[1\,;5]$ C $[4\,;5]$ D $]-2\,;4[$

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   Réponse A. Pour une fonction décroissante, $f\big([a\,;b]\big) = [f(b)\,;f(a)]$ . Les bornes $-2$ et $4$ sont atteintes : l'intervalle est fermé.

4. Question 4 sur 17Laquelle de ces fonctions est impaire ?

   A $x \mapsto x^2 + 1$ B $x \mapsto x^3 + 1$ C $x \mapsto x^3 + x$ D $x \mapsto |x|$

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   Réponse C. $(-x)^3 + (-x) = -(x^3 + x)$ . Les fonctions A et D sont paires ; la fonction B n'est ni paire ni impaire (elle vaut $2$ en $1$ et $0$ en $-1$ ).

5. Question 5 sur 17$f$ est une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ , et $f(2) = 5$ . Alors

   A $f(-2) = 5$ B $f(-2) = -5$ et $f(0) = 0$ C $f(0) = 5$ D $f(-2) = \dfrac15$

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   Réponse B. $f(-2) = -f(2) = -5$ ; et $f(0) = -f(0)$ donne $f(0) = 0$ .

6. Question 6 sur 17La plus petite période strictement positive de la fonction $x \mapsto \cos(4x)$ est

   A $4\pi$ B $\dfrac\pi4$ C $\dfrac\pi2$ D $2\pi$

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   Réponse C. $4T = 2\pi$ donne $T = \dfrac\pi2$ : $\cos\left(4\left(x + \frac\pi2\right)\right) = \cos(4x + 2\pi) = \cos(4x)$ . Le nombre $2\pi$ est aussi une période, mais ce n'est pas la plus petite.

7. Question 7 sur 17Dans un repère orthogonal, la droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si, pour tout $x$ de $D_f$ , $2a - x \in D_f$ et

   A $f(2a - x) = f(x)$ B $f(a - x) = f(x)$ C $f(2a - x) = -f(x)$ D $f(2a - x) + f(x) = 2a$

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   Réponse A. Les points $(x\,;f(x))$ et $(2a - x\,;f(x))$ sont symétriques par rapport à la droite $x = a$ . La relation D ressemble à celle d'un centre de symétrie.

8. Question 8 sur 17Le centre de symétrie de la courbe de $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ est le point

   A $(-2\,;3)$ B $(3\,;2)$ C $(2\,;3)$ D $\left(2\,;-\dfrac12\right)$

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   Réponse C. $f(x) = \dfrac{3(x - 2) + 7}{x - 2} = 3 + \dfrac{7}{x - 2}$ : la courbe est l'image d'une hyperbole $y = \dfrac7x$ par la translation de vecteur $\vec u(2\,;3)$ , et son centre est $(2\,;3)$ .

9. Question 9 sur 17La courbe de $g$ est l'image de celle de $f$ par la translation de vecteur $2\vec i - \vec j$ . Alors, pour tout $x$ ,

   A $g(x) = f(x + 2) - 1$ B $g(x) = f(x - 2) - 1$ C $g(x) = f(x - 1) + 2$ D $g(x) = f(x) + 1$

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   Réponse B. La translation de vecteur $\vec u(a\,;b)$ donne $x \mapsto f(x - a) + b$ , ici avec $a = 2$ et $b = -1$ . La réponse A se trompe de signe : elle décale vers la gauche.

10. Question 10 sur 17La parabole d'équation $y = x^2 - 4x + 5$ est l'image de la parabole $y = x^2$ par la translation de vecteur

    A $\vec u(-2\,;1)$ B $\vec u(2\,;5)$ C $\vec u(4\,;5)$ D $\vec u(2\,;1)$

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    Réponse D. $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$ : le sommet est $(2\,;1)$ .

11. Question 11 sur 17Les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{x + 3}{x + 1}$ sont les droites

    A $x = 1$ et $y = 3$ B $x = -1$ et $y = 1$ C $x = -3$ et $y = 1$ D $x = -1$ et $y = 3$

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    Réponse B. $f(x) = \dfrac{(x + 1) + 2}{x + 1} = 1 + \dfrac{2}{x + 1}$ : translation de vecteur $\vec u(-1\,;1)$ de l'hyperbole $y = \dfrac2x$ , dont les asymptotes sont les axes.

12. Question 12 sur 17Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ . La fonction $h : x \mapsto f(|x|)$ est toujours

    A paire B impaire C positive D périodique

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    Réponse A. $h(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = h(x)$ . Elle n'est pas forcément positive : c'est $|f(x)|$ qui est toujours positive.

13. Question 13 sur 17Le nombre de solutions de l'équation $|x^2 - 4| = 2$ est

    A $2$ B $3$ C $0$ D $4$

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    Réponse D. $x^2 - 4 = 2$ donne $x = \pm\sqrt6$ , et $x^2 - 4 = -2$ donne $x = \pm\sqrt2$ . Graphiquement, la droite $y = 2$ coupe la courbe de $|x^2 - 4|$ en quatre points, car $0 < 2 < 4$ .

14. Question 14 sur 17Soit $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x^2$ . Alors $(v \circ u)(x) =$

    A $x^2 + 1$ B $x^2(x + 1)$ C $(x + 1)^2$ D $x^2 + x$

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    Réponse C. On applique d'abord $u$ , puis $v$ : $v\big(u(x)\big) = (x + 1)^2$ . La réponse A est $(u \circ v)(x)$ .

15. Question 15 sur 17L'ensemble de définition de $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ est

    A $[-3\,;3]$ B $[3\,;+\infty[$ C $]-\infty\,;3]$ D $]-\infty\,;-3] \cup [3\,;+\infty[$

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    Réponse A. Il faut $9 - x^2 \geq 0$ , soit $x^2 \leq 9$ , soit $-3 \leq x \leq 3$ .

16. Question 16 sur 17Sur $\mathbb{R}$ , la fonction $f(x) = \dfrac{4}{x^2 + 2}$ est

    A majorée mais pas minorée B minorée mais pas majorée C bornée, avec $0 < f(x) \leq 2$ D ni majorée ni minorée

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    Réponse C. $x^2 + 2 \geq 2$ , donc $0 < \dfrac{4}{x^2 + 2} \leq 2$ . Le maximum $2 = f(0)$ est atteint.

17. Question 17 sur 17$u$ est décroissante sur $I$ , et $v$ est croissante sur un intervalle qui contient $u(I)$ . Alors $v \circ u$ est, sur $I$ ,

    A croissante B constante C positive D décroissante

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    Réponse D. Les sens de variation sont contraires : si $x_1 < x_2$ , alors $u(x_1) \geq u(x_2)$ , puis $v\big(u(x_1)\big) \geq v\big(u(x_2)\big)$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.