Les fonctions $x \mapsto |f(x)|$ et $x \mapsto f(|x|)$

5.1 La fonction $x \mapsto |f(x)|$

Soit $g(x) = |f(x)|$. Elle a le même ensemble de définition que $f$, et $g(x) = f(x) \text{ si } f(x) \geq 0, \qquad g(x) = -f(x) \text{ si } f(x) < 0.$

Construction. La courbe de $-f$ est la symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses. Donc :

• on garde les parties de $\mathcal{C}_f$ situées au-dessus de l'axe des abscisses ;
• on remplace les parties situées au-dessous par leurs symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

La courbe de $|f|$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (ou dessus).

Exemple 20. Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$. Elle s'annule en $-1$ et en $3$, et elle est négative entre ces deux nombres. La courbe de $g = |f|$ s'obtient en retournant vers le haut l'arc situé entre $-1$ et $3$ : le sommet $(1\,;-4)$ devient le point $(1\,;4)$. Sur $[-1\,;3]$, $g(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Variations lues sur la courbe. $g$ est décroissante sur $]-\infty\,;-1]$, croissante sur $[-1\,;1]$, décroissante sur $[1\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$.

5.2 La fonction $x \mapsto f(|x|)$

Soit $h(x) = f(|x|)$. Elle est définie pour les réels $x$ tels que $|x| \in D_f$, et :

• $h$ est paire, car $|-x| = |x|$ ;
• pour $x \geq 0$, $|x| = x$, donc $h(x) = f(x)$.

Construction. On garde la partie de $\mathcal{C}_f$ située à droite de l'axe des ordonnées ($x \geq 0$), on efface l'autre, et on complète par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple 21. Avec $f(x) = x^2 - 2x - 3$ : $h(x) = f(|x|) = x^2 - 2|x| - 3$ (car $|x|^2 = x^2$). Pour $x \geq 0$, la courbe de $h$ est celle de $f$ : elle descend de $(0\,;-3)$ à $(1\,;-4)$, puis remonte en passant par $(3\,;0)$. Par symétrie, la courbe complète a la forme d'un « W », de minimum $-4$ atteint en $-1$ et en $1$.

Exemple 22. Avec $f(x) = \sqrt{x - 1}$ : $f(|x|) = \sqrt{|x| - 1}$ est définie si $|x| \geq 1$, soit sur $]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[$.

Ne pas confondre. Avec $f(x) = x^2 - 2x - 3$ : $|f(-2)| = |5| = 5$, alors que $f(|-2|) = f(2) = -3$.

5.3 Application : nombre de solutions d'une équation

Les solutions de l'équation $|f(x)| = m$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de $|f|$ avec la droite d'équation $y = m$.

Exemple 23. Nombre de solutions de $|x^2 - 2x - 3| = m$, selon le réel $m$ (courbe de l'exemple 20) :

Valeur de $m$	$m < 0$	$m = 0$	$0 < m < 4$	$m = 4$	$m > 4$
Nombre de solutions	$0$	$2$	$4$	$3$	$2$

Pour $m = 4$ : $x^2 - 2x - 3 = -4$ donne $x = 1$, et $x^2 - 2x - 3 = 4$ donne $x = 1 - 2\sqrt2$ ou $x = 1 + 2\sqrt2$.