Utiliser la dérivée : bijection, équations, optimisation

7.1 Dérivée et bijection

Définition (rappel). Soit $I$ et $J$ deux intervalles. On dit que $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ si tout réel $y$ de $J$ a un unique antécédent $x$ dans $I$ : pour tout $y \in J$, l'équation $f(x) = y$ a une solution et une seule dans $I$.

Théorème (admis). Si $f$ est dérivable et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$.

Cas particulier (admis). Si $f$ est dérivable sur $[a\,;b]$ et si $f'$ est strictement positive sur $[a\,;b]$, alors $f$ est une bijection strictement croissante de $[a\,;b]$ sur $[f(a)\,;f(b)]$. Si $f'$ est strictement négative sur $[a\,;b]$, $f$ est une bijection strictement décroissante de $[a\,;b]$ sur $[f(b)\,;f(a)]$.

L'intervalle $f(I)$ se lit sur le tableau de variations, avec les valeurs et les limites aux bornes (chapitre 2).

7.2 Résoudre une équation $f(x) = k$

Conséquence. Si $f$ est dérivable et strictement monotone sur l'intervalle $I$, et si $k$ appartient à $f(I)$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans $I$. Graphiquement, la droite horizontale d'équation $y = k$ coupe la courbe en un seul point au-dessus de $I$.

Exemple 33. Montrons que l'équation $x^3 - 3x - 3 = 0$ a une seule solution réelle, et encadrons-la.

Soit $f(x) = x^3 - 3x - 3$. On a $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$, d'où le tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ à $f(-1) = -1$, décroît jusqu'à $f(1) = -5$, puis croît jusqu'à $+\infty$.

• Sur $]-\infty\,;1]$, le maximum de $f$ est $f(-1) = -1$ : $f(x) \leq -1 < 0$. Il n'y a pas de solution.
• Sur $I = ]1\,;+\infty[$, $f'(x) > 0$ : $f$ est dérivable et strictement croissante sur $I$, donc c'est une bijection de $I$ sur $f(I) = ]-5\,;+\infty[$. Comme $0 \in ]-5\,;+\infty[$, l'équation a une solution unique $\alpha$ dans $I$.
• Encadrement. $f(2) = -1 < 0$ et $f(3) = 15 > 0$ : comme $f$ est croissante sur $I$, $2 < \alpha < 3$. Puis, à la calculatrice, $f(2{,}1) = -0{,}039 < 0$ et $f(2{,}2) = 1{,}048 > 0$ : $2{,}1 < \alpha < 2{,}2$.

Inéquation. On en déduit aussi le signe de $f$ : $f(x) < 0$ pour $x < \alpha$, et $f(x) > 0$ pour $x > \alpha$.

7.3 Problèmes d'optimisation

Optimiser, c'est chercher la valeur de la variable qui rend une grandeur la plus grande ou la plus petite possible.

Méthode.

1. Choisir la variable et l'intervalle où elle varie.
2. Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de cette variable.
3. Étudier ses variations à l'aide de la dérivée.
4. Conclure, avec l'unité, en répondant à la question posée.

Exemple 34 (la boîte de volume maximal). Dans une feuille de carton carrée de $30$ cm de côté, on découpe un carré de côté $x$ (en cm) à chaque coin, puis on relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle. Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ?

La base est un carré de côté $30 - 2x$ et la hauteur vaut $x$, avec $0 < x < 15$. Le volume est $V(x) = x\,(30 - 2x)^2.$ Par la règle du produit (et la dérivée de $(30 - 2x)^2$, qui vaut $-2 \times 2(30 - 2x)$) : $V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x\,(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x) = 12\,(15 - x)(5 - x).$ Sur $]0\,;15[$, $15 - x > 0$ ; donc $V'(x) > 0$ sur $]0\,;5[$ et $V'(x) < 0$ sur $]5\,;15[$. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm : $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000$ cm³, soit $2$ litres.