Devoir sur 20 : Dérivation

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4 (il ne porte que sur le socle commun). Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (5 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1\,;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$ .

Pour $h \neq 0$ (et $h > -2$ ), calculer et simplifier $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ . En déduire que $f$ est dérivable en $1$ et donner $f'(1)$ . (2 points)
Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point $A$ d'abscisse $1$ . (1 point)
En déduire, sans calculatrice, une valeur approchée de $\dfrac{1}{2{,}02}$ . (1 point)
Retrouver $f'(1)$ à l'aide des règles de dérivation. (1 point)

Exercice 2 (4 points)

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur l'intervalle indiqué, et la simplifier.

$f_1(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7$ sur $\mathbb{R}$ . (0,5 point)
$f_2(x) = x\cos x$ sur $\mathbb{R}$ . (1 point)
$f_3(x) = \dfrac{3x + 2}{x - 1}$ sur $]1\,;+\infty[$ . (1 point)
$f_4(x) = (1 - 2x)^3$ sur $\mathbb{R}$ . (0,5 point)
$f_5(x) = \sin(3x + 1)$ sur $\mathbb{R}$ . (1 point)

Exercice 3 (8 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ , et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . (1 point)
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$ . Étudier le signe de $f'(x)$ . (2 points)
Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux. (2 points)
Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ . (1 point)
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[4\,;5]$ , puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$ . (2 points)

Exercice 4 (3 points)

Dans un repère orthonormé (unité : 1 cm), on considère la parabole d'équation $y = 12 - x^2$ . Pour $0 < x < 2\sqrt3$ , on construit le rectangle dont deux sommets sont sur l'axe des abscisses, aux points d'abscisses $-x$ et $x$ , et les deux autres sur la parabole.

Montrer que l'aire du rectangle, en cm², est $A(x) = 24x - 2x^3$ . (1 point)
Étudier les variations de $A$ sur $\left]0\,;2\sqrt3\right[$ , puis déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale. (2 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (2 pts) $f(1) = \dfrac12$ et $f(1 + h) = \dfrac{1}{2 + h}$ . Donc (1 pt) $f(1 + h) - f(1) = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)} \qquad \text{et} \qquad \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{-1}{2(2 + h)}.$ Quand $h$ tend vers $0$ , ce taux tend vers $-\dfrac14$ : $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = -\dfrac14$ (1 pt).

2. (1 pt) $T : y = -\dfrac14(x - 1) + \dfrac12$ , soit $y = -\dfrac14 x + \dfrac34$ .

3. (1 pt) $\dfrac{1}{2{,}02} = f(1{,}02) \approx f(1) + f'(1) \times 0{,}02 = 0{,}5 - 0{,}005 = 0{,}495$ . (La calculatrice donne $0{,}495\,04\ldots$ )

4. (1 pt) Avec $\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ et $v(x) = x + 1$ : $f'(x) = -\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ , donc $f'(1) = -\dfrac14$ .

Exercice 2

1. (0,5 pt) $f_1'(x) = 12x^2 - 4x$ .

2. (1 pt) Règle du produit : $f_2'(x) = \cos x - x\sin x$ .

3. (1 pt) $f_3'(x) = \dfrac{3(x - 1) - (3x + 2)}{(x - 1)^2} = -\dfrac{5}{(x - 1)^2}$ .

4. (0,5 pt) $f_4'(x) = -2 \times 3(1 - 2x)^2 = -6(1 - 2x)^2$ .

5. (1 pt) $f_5'(x) = 3\cos(3x + 1)$ .

Exercice 3

1. (1 pt) En $\pm\infty$ , $f(x)$ se comporte comme son terme de plus haut degré $x^3$ : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

2. (2 pts) $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ (0,5 pt). Et $3(x + 1)(x - 3) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$ (0,5 pt). Ce trinôme s'annule en $-1$ et $3$ ; il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles (1 pt).

3. (2 pts) $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ et $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$10$	$\searrow$	$-22$	$\nearrow$	$+\infty$

(1,5 pt pour le tableau.) $f$ admet un maximum local $10$ en $-1$ et un minimum local $-22$ en $3$ (0,5 pt).

4. (1 pt) $f(0) = 5$ et $f'(0) = -9$ : la tangente a pour équation $y = -9x + 5$ .

5. (2 pts) Sur $[4\,;5]$ , $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) > 0$ : $f$ est une bijection strictement croissante de $[4\,;5]$ sur $[f(4)\,;f(5)] = [-15\,;10]$ (car $f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$ et $f(5) = 125 - 75 - 45 + 5 = 10$ ). Comme $0 \in [-15\,;10]$ , l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$ dans $[4\,;5]$ (1 pt). À la calculatrice, $f(4{,}6) \approx -2{,}54 < 0$ et $f(4{,}7) \approx 0{,}25 > 0$ , donc $4{,}6 < \alpha < 4{,}7$ (1 pt).

Exercice 4

1. (1 pt) Le rectangle a pour largeur $x - (-x) = 2x$ et pour hauteur l'ordonnée $12 - x^2$ du point de la parabole d'abscisse $x$ (positive car $x < 2\sqrt3$ ). Donc $A(x) = 2x(12 - x^2) = 24x - 2x^3$ .

2. (2 pts) $A'(x) = 24 - 6x^2 = 6(4 - x^2) = 6(2 - x)(2 + x)$ (0,5 pt). Sur $\left]0\,;2\sqrt3\right[$ , $A'(x)$ a le signe de $2 - x$ : $A$ est croissante sur $]0\,;2]$ et décroissante sur $\left[2\,;2\sqrt3\right[$ (1 pt). L'aire est maximale pour $x = 2$ : $A(2) = 48 - 16 = 32$ cm² (0,5 pt).