Dérivée et sens de variation

6.1 Les théorèmes (admis)

Théorèmes (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

1. Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
2. Si $f'$ est positive sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f'$ est négative sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
3. Si $f'$ est strictement positive sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Si $f'$ est strictement négative sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Interprétation. Là où les tangentes montent (coefficient directeur positif), la courbe monte ; là où elles descendent, la courbe descend.

Attention : il faut un intervalle. La fonction inverse a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2} < 0$ en tout réel non nul. Elle est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 1$ et $\dfrac{1}{-1} = -1 < 1 = \dfrac11$.

Exemple 29. Soit $f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$. Par la règle du produit, $(\cos^2 x)' = -2\sin x\cos x$ et $(\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x$, donc $f'(x) = 0$. Par le théorème 1, $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = f(0) = 1$. On retrouve $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

6.2 Tableau de variations

Méthode.

1. Donner l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité.
2. Calculer $f'(x)$, puis la factoriser autant que possible.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ (tableau de signes).
4. Dresser le tableau de variations : une ligne pour $x$ (avec les valeurs où $f'$ s'annule et les bornes), une ligne pour le signe de $f'(x)$, une ligne pour les variations de $f$ (flèches), en y portant les valeurs de $f$ aux points remarquables et les limites aux bornes (chapitre 2).

Exemple 30. Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$. On a $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Ce trinôme est positif à l'extérieur des racines $-1$ et $1$, négatif entre elles. De plus $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$, $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$, et (terme de plus haut degré) $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;1]$, strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. Aux points d'abscisses $-1$ et $1$, les tangentes sont horizontales.

Exemple 31 (une valeur interdite). Soit $g(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Par la règle du quotient, $g'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}.$ Le dénominateur est strictement positif : $g'(x)$ a le signe de $(x - 3)(x + 1)$. On calcule $g(-1) = \dfrac{4}{-2} = -2$ et $g(3) = \dfrac{12}{2} = 6$. Limites : en $-\infty$, $-\infty$ ; en $1$ à gauche, $-\infty$ (numérateur $4$, dénominateur qui tend vers $0$ en restant négatif) ; en $1$ à droite, $+\infty$ ; en $+\infty$, $+\infty$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
signe de $g'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
variations de $g$	$-\infty$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$6$	$\nearrow$	$+\infty$

La double barre signale la valeur interdite $1$. Remarque : le maximum local $-2$ est plus petit que le minimum local $6$. Il n'y a pas de contradiction : ils sont sur deux intervalles différents.

6.3 Extremum

Définition. On dit que $f$ admet un maximum local (ou relatif) en $x_0$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $x_0$ tel que $f(x) \leq f(x_0)$ pour tout $x$ de $J$ (où $f$ est définie). On définit de même un minimum local. Un maximum ou un minimum s'appelle un extremum.

Théorème (admis). Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert contenant $x_0$, et si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum en $x_0$ :

• un maximum si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ ;
• un minimum si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$.

Exemple 32. Dans l'exemple 30, $f$ admet un maximum local $3$ en $-1$ et un minimum local $-1$ en $1$. Dans l'exemple 31, $g$ admet un maximum local $-2$ en $-1$ et un minimum local $6$ en $3$.

Attention : une dérivée nulle ne suffit pas. La fonction cube a pour dérivée $3x^2$, qui s'annule en $0$ sans changer de signe. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (Seconde) : elle n'a pas d'extremum en $0$. Sa tangente en $0$ est horizontale (c'est l'axe des abscisses), et la courbe la traverse.