Faire des prévisions

6.1 La démarche complète

1. Représenter le nuage et observer sa forme.
2. Calculer $r$ et l'interpréter : si $|r|$ est proche de $1$, un ajustement affine est justifié.
3. Déterminer la droite de régression utile.
4. Faire l'estimation demandée.
5. Porter un regard critique sur le résultat.

Exemple 10 (données simplifiées). Population d'une commune, en milliers d'habitants. Pour simplifier, chaque année est remplacée par son rang $x$.

Année	2019	2020	2021	2022	2023
Rang $x_i$	1	2	3	4	5
Population $y_i$ (milliers)	42,5	44,6	47,2	49,8	51,9

• Le nuage est presque aligné sur une droite qui monte.
• $\overline{x} = 3$, $\overline{y} = \dfrac{236}{5} = 47{,}2$, $V(x) = 2$, $V(y) = 11{,}54$ ; $\sum x_iy_i = 732$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{732}{5} - 3 \times 47{,}2 = 146{,}4 - 141{,}6 = 4{,}8$.
• $r = \dfrac{4{,}8}{\sqrt{2} \times \sqrt{11{,}54}} \approx 0{,}999$ : $r$ est très proche de $1$, l'ajustement affine est justifié.
• $a = \dfrac{4{,}8}{2} = 2{,}4$ et $b = 47{,}2 - 2{,}4 \times 3 = 40$ : $D_{y/x}$ : $y = 2{,}4\,x + 40$.
• Estimation pour 2030 : le rang est $12$, et $y = 2{,}4 \times 12 + 40 = 68{,}8$. Si la tendance se maintient, la commune compterait environ $68\,800$ habitants en 2030.

6.2 Interpolation et extrapolation

• Si la valeur de $x$ utilisée est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur observée, on fait une interpolation.
• Si elle est en dehors, on fait une extrapolation : on suppose que la tendance observée continue, ce que rien ne garantit. Plus on s'éloigne des valeurs observées, moins l'estimation est fiable.

Dans l'exemple 10, 2030 est sept ans après la dernière observation : c'est une extrapolation, à prendre avec prudence. Autre exemple : pour des enfants de $2$ à $12$ ans (exercice 1), la taille augmente presque régulièrement avec l'âge, et la droite de régression est $y = 6{,}5\,x + 75$ (en cm). À $30$ ans, elle prévoirait $6{,}5 \times 30 + 75 = 270$ cm : absurde, car la croissance s'arrête.

6.3 Quelle droite utiliser ?

• Pour estimer $y$ connaissant $x$, on utilise la droite de régression de $y$ en $x$.
• Pour estimer $x$ connaissant $y$, on utilise la droite de régression de $x$ en $y$.
• Si l'énoncé impose une droite, on utilise celle-là.

Exemple 11. Retour à l'exemple 1.

• Rendement attendu pour $800$ mm : avec $D_{y/x}$, $y = 8 + 3 = 11$ quintaux par hectare.
• Pluie correspondant à un rendement de $12$ quintaux : avec $D_{x/y}$, $x = \dfrac{6}{7} \times 12 - \dfrac{12}{7} = \dfrac{60}{7} \approx 8{,}57$, soit environ $857$ mm.
• Avec $D_{y/x}$, on aurait trouvé $x + 3 = 12$, soit $x = 9$ ($900$ mm). Les deux droites ne donnent pas la même réponse, car $r \neq \pm 1$.

6.4 Corrélation n'est pas causalité

Une forte corrélation montre que deux caractères varient ensemble ; elle ne prouve pas que l'un est la cause de l'autre. Par exemple, dans une ville, les ventes de ventilateurs et les ventes de glaces augmentent pendant les mêmes mois : les deux dépendent de la chaleur, et les ventilateurs ne font pas vendre les glaces. De même, deux grandeurs qui augmentent toutes les deux avec le temps sont fortement corrélées, sans lien de cause à effet entre elles.

Remarque (changement de variable). Quand le nuage n'a pas une forme allongée selon une droite, un énoncé peut proposer un changement de variable, par exemple $z = \ln y$. On applique alors la méthode à la série $(x_i\,;z_i)$, puis on revient à $y$ (exercice 12).