Devoir sur 20 : Statistique à deux variables

Devoir d'une heure, sur 20 points, pour les séries S2, S4, S2A et S5. Calculatrice autorisée ; les calculs doivent être présentés. Données simplifiées. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (11 points)

Le propriétaire d'un panneau solaire a noté, pendant six jours, la durée d'ensoleillement $x$ , en heures, et l'énergie produite $y$ , en kilowattheures (kWh).

$x_i$ (h)	6	7	8	8	9	10
$y_i$ (kWh)	2,1	2,5	2,8	3,0	3,3	3,7

Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal (en abscisse, $2$ cm pour $1$ h à partir de $5$ h ; en ordonnée, $1$ cm pour $0{,}2$ kWh à partir de $2$ kWh). (1 point)
Calculer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer. (1 point)
Calculer $V(x)$ , $V(y)$ et $\operatorname{cov}(x, y)$ (valeurs exactes). (3 points)
Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ , arrondi à $10^{-3}$ . Un ajustement affine est-il justifié ? (2 points)
Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ et la tracer. (2 points)
Estimer l'énergie produite un jour de $8$ h $30$ min d'ensoleillement, puis un jour de $12$ h. Laquelle de ces deux estimations est la plus fiable ? Pourquoi ? (2 points)

Exercice 2 (9 points)

Dans une classe de Terminale de $50$ élèves, on a relevé la note de mathématiques $x$ et la note de sciences physiques $y$ , regroupées en trois niveaux : $6$ , $10$ et $14$ sur $20$ .

$y$ \ $x$	6	10	14
6	15	3	0
10	5	4	5
14	0	3	15

Déterminer les séries marginales de $x$ et de $y$ . (1 point)
Calculer $\overline{x}$ , $V(x)$ , $\overline{y}$ et $V(y)$ . (2,5 points)
Parmi les élèves qui ont $14$ en mathématiques, quel pourcentage a $14$ en sciences physiques ? (1 point)
Calculer $\operatorname{cov}(x, y)$ , puis le coefficient de corrélation linéaire $r$ (valeur exacte, puis arrondie à $10^{-2}$ ). (2 points)
Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ . Estimer la note de sciences physiques d'un élève qui a $16$ en mathématiques. (2,5 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) Les six points montent presque en ligne droite.

2. (1 pt) $\overline{x} = \dfrac{48}{6} = 8$ et $\overline{y} = \dfrac{17{,}4}{6} = 2{,}9$ : $G(8\,;2{,}9)$ .

3. (3 pts)

(1 pt) $\sum x_i^2 = 394$ , donc $V(x) = \dfrac{394}{6} - 64 = \dfrac{5}{3}$ .
(1 pt) $\sum y_i^2 = 52{,}08$ , donc $V(y) = \dfrac{52{,}08}{6} - 2{,}9^2 = 8{,}68 - 8{,}41 = 0{,}27$ .
(1 pt) $\sum x_iy_i = 12{,}6 + 17{,}5 + 22{,}4 + 24 + 29{,}7 + 37 = 143{,}2$ , donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{143{,}2}{6} - 8 \times 2{,}9 = \dfrac{2}{3}$ .

4. (2 pts)

(1,5 pt) $r = \dfrac{2/3}{\sqrt{5/3} \times \sqrt{0{,}27}} = \dfrac{2/3}{\sqrt{0{,}45}} = \dfrac{4\sqrt5}{9} \approx 0{,}994$ .
(0,5 pt) $r$ est très proche de $1$ : la corrélation linéaire est forte et positive, un ajustement affine est justifié.

5. (2 pts)

(1 pt) $a = \dfrac{2/3}{5/3} = 0{,}4$ et $b = 2{,}9 - 0{,}4 \times 8 = -0{,}3$ : $y = 0{,}4\,x - 0{,}3$ .
(1 pt) Tracé : la droite passe par $G(8\,;2{,}9)$ et, par exemple, par le point $(6\,;2{,}1)$ .

6. (2 pts)

(0,5 pt) $8$ h $30$ min $= 8{,}5$ h : $y = 0{,}4 \times 8{,}5 - 0{,}3 = 3{,}1$ kWh.
(0,5 pt) $12$ h : $y = 0{,}4 \times 12 - 0{,}3 = 4{,}5$ kWh.
(1 pt) La première est la plus fiable : $8{,}5$ h est entre $6$ et $10$ h (interpolation), alors que $12$ h est en dehors des valeurs observées (extrapolation).

Exercice 2

1. (1 pt) Série marginale de $x$ : $6$ , $10$ , $14$ avec les effectifs $20$ , $10$ , $20$ . Série marginale de $y$ : $6$ , $10$ , $14$ avec les effectifs $18$ , $14$ , $18$ .

2. (2,5 pts)

(0,5 pt) $\overline{x} = \dfrac{120 + 100 + 280}{50} = 10$ .
(0,75 pt) $V(x) = \dfrac{720 + 1\,000 + 3\,920}{50} - 100 = 112{,}8 - 100 = 12{,}8$ .
(0,5 pt) $\overline{y} = \dfrac{108 + 140 + 252}{50} = 10$ .
(0,75 pt) $V(y) = \dfrac{648 + 1\,400 + 3\,528}{50} - 100 = 111{,}52 - 100 = 11{,}52$ .

3. (1 pt) $20$ élèves ont $14$ en mathématiques, dont $15$ ont $14$ en sciences physiques : $\dfrac{15}{20} = 75\,\%$ .

4. (2 pts)

(1 pt) $\sum\sum n_{ij}x_iy_j = 720 + 1\,400 + 3\,360 = 5\,480$ (lignes $y = 6$ , $10$ , $14$ ), donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{5\,480}{50} - 10 \times 10 = 9{,}6$ .
(1 pt) $r = \dfrac{9{,}6}{\sqrt{12{,}8} \times \sqrt{11{,}52}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4} \approx 0{,}79$ .

5. (2,5 pts)

(1,5 pt) $a = \dfrac{9{,}6}{12{,}8} = 0{,}75$ et $b = 10 - 0{,}75 \times 10 = 2{,}5$ : $y = 0{,}75\,x + 2{,}5$ .
(1 pt) Pour $x = 16$ : $y = 0{,}75 \times 16 + 2{,}5 = 14{,}5$ . On peut estimer sa note de sciences physiques à environ $14{,}5$ sur $20$ (estimation prudente : $16$ est en dehors des valeurs observées et $r$ vaut environ $0{,}79$ ).

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 et 2	O1 Nuage de points, point moyen
Ex. 1, 3	O2 Variance ; O3 Covariance
Ex. 1, 4	O5 Coefficient de corrélation ; O6 Interpréter $r$
Ex. 1, 5	O4 Droite de régression par les moindres carrés
Ex. 1, 6	O8 Prévisions, interpolation et extrapolation
Ex. 2, 1 à 3	O7 Tableau à double entrée : séries marginales et conditionnelles
Ex. 2, 4	O3 et O5 Covariance et corrélation d'un tableau à double entrée
Ex. 2, 5	O4 et O8 Droite de régression et estimation