La covariance

2.1 L'idée : quatre zones autour du point moyen

Les droites passant par $G$, parallèles aux axes, partagent le plan en quatre zones. Pour un point $M_i$, on regarde le produit des écarts $\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right)$ :

• il est positif si $M_i$ est en haut à droite de $G$ (deux écarts positifs) ou en bas à gauche (deux écarts négatifs) ;
• il est négatif dans les deux autres zones.

2.2 Définition

Définition. La covariance de $x$ et de $y$ est la moyenne des produits des écarts : $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right).$

Signe. Si la plupart des points sont dans les zones où le produit est positif, la covariance est positive : le nuage « monte ». Si elle est négative, le nuage « descend ». On remarque que $\operatorname{cov}(x, x) = V(x)$.

2.3 Formule de calcul

Théorème 1. $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \overline{x}\,\overline{y}.$

Démonstration. $\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right) = x_iy_i - \overline{y}\,x_i - \overline{x}\,y_i + \overline{x}\,\overline{y}$. En faisant la moyenne, et comme $\frac{1}{n}\sum x_i = \overline{x}$ et $\frac{1}{n}\sum y_i = \overline{y}$ : $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{y}\,\overline{x} - \overline{x}\,\overline{y} + \overline{x}\,\overline{y} = \frac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{x}\,\overline{y}.$

Exemple 2. Covariance de la série de l'exemple 1, de deux façons.

• Par la définition. Avec $\overline{x} = 6$ et $\overline{y} = 9$ :

$x_i$	3	4	6	7	7	9	Total
$y_i$	6	8	8	10	9	13
$x_i - \overline{x}$	$-3$	$-2$	$0$	$1$	$1$	$3$
$y_i - \overline{y}$	$-3$	$-1$	$-1$	$1$	$0$	$4$
produit	$9$	$2$	$0$	$1$	$0$	$12$	$24$

Donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{24}{6} = 4$.

• Par le théorème 1. $\sum x_iy_i = 18 + 32 + 48 + 70 + 63 + 117 = 348$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{348}{6} - 6 \times 9 = 58 - 54 = 4$.

La covariance est positive : le nuage monte.

Exemple 3 (données simplifiées). Sur un quai de pêche artisanale, on relève pendant cinq jours la quantité de poisson débarquée $x$, en tonnes, et le prix moyen du kilo $y$, en centaines de francs CFA.

$x_i$ (t)	2	4	5	6	8
$y_i$ (centaines de F CFA)	11	7	7	5	5

$\overline{x} = \dfrac{25}{5} = 5$, $\overline{y} = \dfrac{35}{5} = 7$, $\sum x_iy_i = 22 + 28 + 35 + 30 + 40 = 155$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{155}{5} - 5 \times 7 = 31 - 35 = -4.$ La covariance est négative : les jours où il y a plus de poisson, le prix est plus bas.

2.4 Organiser les calculs

On présente les calculs dans un tableau à cinq lignes : $x_i$, $y_i$, $x_i^2$, $y_i^2$, $x_iy_i$, avec une colonne des totaux. Pour l'exemple 1 :

Les totaux donnent tout le reste : $\overline{x} = 6$, $\overline{y} = 9$, $V(x) = 4$, $V(y) = \frac{14}{3}$, $\operatorname{cov}(x, y) = 4$.

Remarque (changement d'origine ou d'unité). Si $u_i = \alpha x_i + \beta$ et $v_i = \gamma y_i + \delta$ ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ réels), alors $u_i - \overline{u} = \alpha\left(x_i - \overline{x}\right)$ et $v_i - \overline{v} = \gamma\left(y_i - \overline{y}\right)$, d'où $\overline{u} = \alpha\overline{x} + \beta, \qquad V(u) = \alpha^2\,V(x), \qquad \operatorname{cov}(u, v) = \alpha\gamma\operatorname{cov}(x, y).$ On s'en sert pour simplifier les calculs, par exemple en remplaçant une année par son rang (exercices 2 et 4).