Statistique à deux variables

1. Question 1 sur 20Le point moyen du nuage formé des points $(1\,;4)$ , $(3\,;2)$ et $(5\,;9)$ est

   A $G(3\,;5)$ B $G(5\,;3)$ C $G(9\,;15)$ D $G(3\,;4)$

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   Réponse A. $\overline{x} = \frac{1 + 3 + 5}{3} = 3$ et $\overline{y} = \frac{4 + 2 + 9}{3} = 5$ . La réponse C donne les sommes, pas les moyennes.

2. Question 2 sur 20La variance de la série $2$ , $4$ , $6$ , $8$ est

   A $5$ B $\sqrt5$ C $20$ D $30$

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   Réponse A. $V(x) = \frac{4 + 16 + 36 + 64}{4} - 5^2 = 30 - 25 = 5$ . La réponse B est l'écart-type, la réponse D oublie de retrancher $\overline{x}^2$ .

3. Question 3 sur 20Si $V(x) = 6{,}25$ , l'écart-type $\sigma_x$ vaut

   A $2{,}5$ B $3{,}125$ C $39{,}0625$ D $6{,}25$

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   Réponse A. $\sigma_x = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ .

4. Question 4 sur 20Pour une série de $n$ couples, la covariance de $x$ et $y$ est égale à

   A $\frac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{x}\,\overline{y}$ B $\frac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{x}^2$ C $\overline{x}\,\overline{y} - \frac{1}{n}\sum x_iy_i$ D $\frac{1}{n}\sum\left(x_i - \overline{x}\right)^2$

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   Réponse A. C'est la formule de calcul (théorème 1). La réponse C est l'opposé, la réponse D est la variance de $x$ .

5. Question 5 sur 20Une série de $4$ couples vérifie $\sum x_iy_i = 60$ , $\overline{x} = 3$ et $\overline{y} = 4$ . Alors $\operatorname{cov}(x, y)$ vaut

   A $3$ B $48$ C $15$ D $-3$

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   Réponse A. $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{60}{4} - 3 \times 4 = 15 - 12 = 3$ .

6. Question 6 sur 20Les points d'un nuage sont presque tous en haut à gauche ou en bas à droite du point moyen $G$ . La covariance est

   A positive B négative C nulle D impossible à prévoir

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   Réponse B. Dans ces zones, les écarts $x_i - \overline{x}$ et $y_i - \overline{y}$ sont de signes contraires, donc leur produit est négatif.

7. Question 7 sur 20La droite de régression de $y$ en $x$ rend minimale la somme

   A des carrés des écarts verticaux B des carrés des écarts horizontaux C des écarts verticaux D des distances des points à l'origine

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   Réponse A. C'est la méthode des moindres carrés : $\sum\left(y_i - ax_i - b\right)^2$ minimale. La somme des écarts eux-mêmes (réponse C) est nulle pour toute droite passant par $G$ : elle ne permet pas de choisir.

8. Question 8 sur 20Pour une série, $V(x) = 4$ et $\operatorname{cov}(x, y) = 6$ . Le coefficient directeur de la droite de régression de $y$ en $x$ est

   A $1{,}5$ B $\frac{2}{3}$ C $24$ D $2$

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   Réponse A. $a = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ . La réponse B inverse le quotient.

9. Question 9 sur 20Le point moyen d'une série est $G(2\,;7)$ et la droite de régression de $y$ en $x$ a pour coefficient directeur $3$ . Son équation est

   A $y = 3x + 1$ B $y = 3x + 7$ C $y = 3x - 1$ D $y = 2x + 3$

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   Réponse A. $b = \overline{y} - a\,\overline{x} = 7 - 3 \times 2 = 1$ .

10. Question 10 sur 20La droite de régression de $y$ en $x$ passe toujours par

    A le point moyen $G$ B l'origine du repère C le premier point du nuage D le point le plus haut du nuage

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    Réponse A. $b = \overline{y} - a\overline{x}$ s'écrit $\overline{y} = a\overline{x} + b$ .

11. Question 11 sur 20Pour une série, $V(x) = 4$ , $V(y) = 9$ et $\operatorname{cov}(x, y) = 5{,}4$ . Le coefficient de corrélation linéaire est

    A $0{,}9$ B $0{,}15$ C $1{,}35$ D $0{,}6$

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    Réponse A. $r = \frac{5{,}4}{\sqrt4 \times \sqrt9} = \frac{5{,}4}{6} = 0{,}9$ . La réponse B divise par le produit des variances, la réponse C par $\sigma_x$ seulement.

12. Question 12 sur 20Pour une série, les droites de régression sont $y = 0{,}8x + 1$ et $x = 0{,}45y + 2$ . Le coefficient de corrélation vaut

    A $0{,}6$ B $0{,}36$ C $-0{,}6$ D $1{,}25$

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    Réponse A. $r^2 = a\,a' = 0{,}8 \times 0{,}45 = 0{,}36$ , et $r$ a le signe de $a$ , positif : $r = 0{,}6$ .

13. Question 13 sur 20Pour une série, $r = -0{,}97$ . On peut dire que

    A la corrélation linéaire est forte, et $y$ diminue quand $x$ augmente B la corrélation linéaire est faible C $y$ augmente quand $x$ augmente D $x$ et $y$ n'ont aucun lien

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    Réponse A. $|r|$ est proche de $1$ : corrélation forte ; $r < 0$ : les deux caractères varient en sens contraires.

14. Question 14 sur 20Pour la série des points $(-2\,;4)$ , $(-1\,;1)$ , $(0\,;0)$ , $(1\,;1)$ et $(2\,;4)$ , on trouve $r = 0$ . On en conclut que

    A il n'y a aucune corrélation linéaire, bien que $y = x^2$ pour chaque point B $x$ et $y$ n'ont aucun lien C le calcul est forcément faux D les points sont alignés

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    Réponse A. $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{-8 - 1 + 0 + 1 + 8}{5} - 0 \times 2 = 0$ . Le coefficient $r$ ne mesure qu'une tendance linéaire.

15. Question 15 sur 20Lequel de ces nombres ne peut pas être un coefficient de corrélation linéaire ?

    A $1{,}2$ B $-1$ C $0$ D $0{,}05$

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    Réponse A. On a toujours $-1 \leq r \leq 1$ .

16. Question 16 sur 20Un tableau à double entrée répartit $20$ individus : $6$ ont le couple $(1\,;3)$ , $1$ a le couple $(2\,;3)$ , $4$ ont le couple $(1\,;5)$ et $9$ ont le couple $(2\,;5)$ . La moyenne $\overline{y}$ vaut

    A $4{,}3$ B $4$ C $4{,}5$ D $3{,}7$

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    Réponse A. La série marginale de $y$ est $3$ (effectif $7$ ) et $5$ (effectif $13$ ), donc $\overline{y} = \frac{21 + 65}{20} = 4{,}3$ . La réponse B est la moyenne des deux valeurs sans tenir compte des effectifs, la réponse D échange les effectifs.

17. Question 17 sur 20Pour la série de la question 16, on a $\overline{x} = 1{,}5$ et $\overline{y} = 4{,}3$ . La covariance de $x$ et $y$ vaut

    A $0{,}25$ B $6{,}7$ C $-0{,}25$ D $0{,}5$

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    Réponse A. $\sum\sum n_{ij}x_iy_j = 18 + 6 + 20 + 90 = 134$ , donc $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{134}{20} - 1{,}5 \times 4{,}3 = 6{,}7 - 6{,}45 = 0{,}25$ . La réponse B oublie de retrancher $\overline{x}\,\overline{y}$ .

18. Question 18 sur 20La droite de régression de $y$ en $x$ d'une série est $y = 2x + 5$ , où $x$ est le rang de l'année (rang $1$ pour 2020). L'estimation de $y$ pour 2026 est

    A $19$ B $17$ C $21$ D $4\,057$

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    Réponse A. 2026 a pour rang $7$ : $y = 2 \times 7 + 5 = 19$ . La réponse B utilise le rang $6$ , la réponse D remplace le rang par l'année.

19. Question 19 sur 20Pour estimer la valeur de $x$ connaissant celle de $y$ , si l'énoncé n'impose aucune droite, on utilise

    A la droite de régression de $x$ en $y$ B la droite de régression de $y$ en $x$ C la droite qui passe par le premier et le dernier point D n'importe laquelle des deux droites de régression, elles donnent le même résultat

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    Réponse A. Les deux droites ne donnent le même résultat que si $r = \pm 1$ .

20. Question 20 sur 20Une estimation faite pour une valeur de $x$ très éloignée des valeurs observées

    A est moins fiable, car on suppose que la tendance continue B est plus fiable C est exacte si $r > 0{,}9$ D est impossible à calculer

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    Réponse A. C'est une extrapolation : même avec $r$ proche de $1$ , rien ne garantit que la tendance se poursuit.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.