Limites, rappels et théorèmes de comparaison

1.1 Ce que tu sais déjà (Première)

Limites des fonctions de référence

Opérations sur les limites. Les règles de Première s'appliquent à la somme, au produit et au quotient. Quatre situations ne permettent pas de conclure directement. On les appelle les formes indéterminées :

$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$

Face à une forme indéterminée, on transforme l'écriture de la fonction.

Méthode : lever une indétermination

1. Polynôme ou fonction rationnelle en $\pm\infty$ : on factorise par le terme de plus haut degré. Retiens qu'en $\pm\infty$, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.
2. Forme $\frac{0}{0}$ en un réel $a$ : on factorise numérateur et dénominateur par $(x-a)$, puis on simplifie.
3. Expression avec une racine carrée : on multiplie par l'expression conjuguée.

Exemple 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3-5x+1}{x^3+4}$.

C'est une forme $\frac{\infty}{\infty}$. Les termes de plus haut degré sont $2x^3$ et $x^3$, donc $\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3-5x+1}{x^3+4} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3}{x^3} = 2.$

Exemple 2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$.

En $2$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : forme $\frac{0}{0}$. Pour $x \neq 2$ : $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2.$ Donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 2+2 = 4$.

Exemple 3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$.

Forme $\infty - \infty$. On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2+x}+x$ : $\sqrt{x^2+x}-x = \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$ Pour $x > 0$, on factorise par $x$ au dénominateur, en écrivant $\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}}$ : $\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{1+1} = \frac12.$

1.2 Théorèmes de comparaison

Ces théorèmes sont admis. Ils sont énoncés en $+\infty$, mais restent vrais en $-\infty$ et en un réel $a$ (à gauche ou à droite).

Théorème 1 (minoration, majoration).

• Si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
• Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.

Théorème 2 (théorème des gendarmes). Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ pour $x$ assez grand, et si $g$ et $h$ ont la même limite réelle $\ell$ en $+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

Conséquence pratique. Si $|f(x) - \ell| \leq u(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} u(x) = 0$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

Théorème 3 (passage à la limite dans une inégalité). Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand, et si $f$ et $g$ ont des limites réelles $\ell$ et $\ell'$ en $+\infty$, alors $\ell \leq \ell'$.

Exemple 4. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x}$.

La fonction sinus n'a pas de limite en $+\infty$, mais elle est bornée : pour tout $x > 0$, $|\sin x| \leq 1$, donc $\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{x}.$ Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac1x = 0$, la conséquence pratique donne $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$.

Exemple 5. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x + \cos x)$.

Pour tout réel $x$, $\cos x \geq -1$, donc $x + \cos x \geq x - 1$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x-1) = +\infty$, le théorème 1 donne $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x+\cos x) = +\infty$.

À retenir. Quand une fonction contient un sinus ou un cosinus qui « oscille », on l'encadre grâce à $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $-1 \leq \cos x \leq 1$, puis on applique un théorème de comparaison.