Limites et continuité

Leçon 1 : Limites, rappels et théorèmes de comparaison

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1.1 Ce que tu sais déjà (Première)

Limites des fonctions de référence

Opérations sur les limites. Les règles de Première s'appliquent à la somme, au produit et au quotient. Quatre situations ne permettent pas de conclure directement. On les appelle les formes indéterminées :

$\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}$

Face à une forme indéterminée, on transforme l'écriture de la fonction.

Méthode : lever une indétermination

1. Polynôme ou fonction rationnelle en $\pm\infty$ : on factorise par le terme de plus haut degré. Retiens qu'en $\pm\infty$, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.
2. Forme $\frac{0}{0}$ en un réel $a$ : on factorise numérateur et dénominateur par $(x-a)$, puis on simplifie.
3. Expression avec une racine carrée : on multiplie par l'expression conjuguée.

Exemple 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3-5x+1}{x^3+4}$.

C'est une forme $\frac{\infty}{\infty}$. Les termes de plus haut degré sont $2x^3$ et $x^3$, donc $\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3-5x+1}{x^3+4} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3}{x^3} = 2.$

Exemple 2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$.

En $2$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : forme $\frac{0}{0}$. Pour $x \neq 2$ : $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2.$ Donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 2+2 = 4$.

Exemple 3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$.

Forme $\infty - \infty$. On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2+x}+x$ : $\sqrt{x^2+x}-x = \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$ Pour $x > 0$, on factorise par $x$ au dénominateur, en écrivant $\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}}$ : $\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{1+1} = \frac12.$

1.2 Théorèmes de comparaison

Ces théorèmes sont admis. Ils sont énoncés en $+\infty$, mais restent vrais en $-\infty$ et en un réel $a$ (à gauche ou à droite).

Théorème 1 (minoration, majoration).

• Si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
• Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.

Théorème 2 (théorème des gendarmes). Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ pour $x$ assez grand, et si $g$ et $h$ ont la même limite réelle $\ell$ en $+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

Conséquence pratique. Si $|f(x) - \ell| \leq u(x)$ pour $x$ assez grand et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} u(x) = 0$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

Théorème 3 (passage à la limite dans une inégalité). Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand, et si $f$ et $g$ ont des limites réelles $\ell$ et $\ell'$ en $+\infty$, alors $\ell \leq \ell'$.

Exemple 4. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x}$.

La fonction sinus n'a pas de limite en $+\infty$, mais elle est bornée : pour tout $x > 0$, $|\sin x| \leq 1$, donc $\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{x}.$ Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac1x = 0$, la conséquence pratique donne $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$.

Exemple 5. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x + \cos x)$.

Pour tout réel $x$, $\cos x \geq -1$, donc $x + \cos x \geq x - 1$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x-1) = +\infty$, le théorème 1 donne $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x+\cos x) = +\infty$.

À retenir. Quand une fonction contient un sinus ou un cosinus qui « oscille », on l'encadre grâce à $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $-1 \leq \cos x \leq 1$, puis on applique un théorème de comparaison.

Leçon 2 : Branches infinies et asymptotes

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Une branche infinie est la partie de la courbe qui part vers l'infini, quand $x$ ou $f(x)$ devient très grand en valeur absolue. Étudier une branche infinie, c'est dire à quoi elle ressemble de loin.

2.1 Asymptotes parallèles aux axes (rappels)

• Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ (à gauche ou à droite de $a$), la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
• Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = b$ (réel), la droite d'équation $y = b$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.

2.2 Asymptote oblique

Définition. La droite $\Delta$ d'équation $y = ax + b$, avec $a \neq 0$, est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si $\lim_{x\to+\infty} \big[f(x) - (ax+b)\big] = 0.$ La définition est la même en $-\infty$. Géométriquement, l'écart vertical entre la courbe et la droite tend vers $0$.

Position relative. On étudie le signe de $f(x) - (ax+b)$ :

• s'il est positif, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ ;
• s'il est négatif, $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\Delta$.

Exemple 6. Soit $f(x) = \dfrac{x^2+x-1}{x-1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Écriture utile. Par division euclidienne, $x^2+x-1 = (x-1)(x+2)+1$, donc $f(x) = x + 2 + \frac{1}{x-1}.$ Asymptote verticale. Quand $x \to 1$, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $0$ : $\displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x) = -\infty$. La droite $x = 1$ est asymptote verticale.

Asymptote oblique. $f(x) - (x+2) = \dfrac{1}{x-1}$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$. La droite $\Delta : y = x+2$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$.

Position. $\dfrac{1}{x-1} > 0$ pour $x > 1$ : la courbe est au-dessus de $\Delta$. Pour $x < 1$, c'est l'inverse : la courbe est au-dessous.

2.3 Méthode générale pour une branche infinie

On suppose $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \pm\infty$. La méthode est la même en $-\infty$.

Étape 1. On calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$.

Étape 2. On calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \big[f(x) - ax\big]$.

Exemple 7. Pour $f(x) = \sqrt{x}$ en $+\infty$ : $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$. Branche parabolique de direction $(Ox)$ : la courbe monte, mais de moins en moins vite.

Exemple 8. Pour $f(x) = x + \sqrt{x}$ en $+\infty$ : $\dfrac{f(x)}{x} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt x} \to 1$, puis $f(x) - x = \sqrt{x} \to +\infty$. Branche parabolique de direction la droite $y = x$.

Exemple 9. Soit $f(x) = \sqrt{x^2+2x}$, définie pour $x \leq -2$ ou $x \geq 0$.

En $+\infty$. Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2+2x} = x\sqrt{1+\frac2x}$, donc $\dfrac{f(x)}{x} = \sqrt{1+\frac2x} \to 1$. Puis, avec l'expression conjuguée : $f(x) - x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1} \to 1.$ La droite $y = x+1$ est asymptote oblique en $+\infty$.

En $-\infty$. Attention : pour $x < 0$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, donc $\sqrt{x^2+2x} = -x\sqrt{1+\frac2x}$. Alors $\dfrac{f(x)}{x} = -\sqrt{1+\frac2x} \to -1$. Puis : $f(x) + x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x} = \frac{2x}{-x\left(\sqrt{1+\frac2x}+1\right)} = \frac{-2}{\sqrt{1+\frac2x}+1} \to -1.$ La droite $y = -x-1$ est asymptote oblique en $-\infty$.

Piège classique. En $-\infty$, on écrit $\sqrt{x^2} = -x$ et non $x$. Beaucoup d'erreurs au bac viennent de là.

Leçon 3 : Continuité

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3.1 Rappels

Définition. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a).$ $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Graphiquement, on trace la courbe « sans lever le crayon ».

Fonctions continues usuelles (admis).

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0;+\infty[$.
• $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$, de même que $x \mapsto |x|$.

Opérations. La somme, le produit et le quotient (dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.

Contre-exemple. La fonction partie entière $E$ (vue en Seconde) n'est continue en aucun entier. Par exemple, en $1$ : $E(x) = 0$ pour $x \in [0;1[$ et $E(1) = 1$, donc la limite à gauche, $0$, est différente de $E(1)$. La courbe « saute ».

3.2 Prolongement par continuité

Définition. Soit $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$. Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell$ avec $\ell$ réel, la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = f(x) \text{ si } x \neq a, \qquad g(a) = \ell$ est continue en $a$. On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$.

Si la limite en $a$ n'existe pas ou est infinie, $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $a$.

Exemple 10. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ sur $[-1;0[\,\cup\,]0;+\infty[$. Est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?

Forme $\frac00$. Avec l'expression conjuguée, pour $x \neq 0$ : $f(x) = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac12.$ La limite est réelle : $f$ est prolongeable par continuité en $0$, en posant $f(0) = \frac12$.

3.3 Continuité d'une composée

Théorème (admis). Si $f$ est continue en $a$ et si $g$ est continue en $f(a)$, alors $g \circ f$ est continue en $a$. Par conséquent, la composée de deux fonctions continues (là où elle est définie) est continue.

Méthode : démontrer qu'une fonction est continue. On la décompose en fonctions usuelles continues reliées par des opérations ou des compositions.

Exemple. $h : x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ est la composée de $u : x \mapsto x^2+1$, continue sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $[1;+\infty[$, suivie de la racine carrée, continue sur $[0;+\infty[$. Donc $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.

3.4 Limite d'une fonction composée

Théorème (admis). Soient $a$ et $b$ deux réels. Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = b$ et si $g$ est continue en $b$, alors $\lim_{x\to a} g\big(f(x)\big) = g(b).$

Remarque. Ce résultat reste vrai lorsque $a$ vaut $+\infty$ ou $-\infty$. C'est ainsi qu'on l'utilise dans les exercices.

Exemple 11. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{4x+1}{x+3}}$.

On pose $f(x) = \dfrac{4x+1}{x+3}$ et $g(y) = \sqrt{y}$. En $+\infty$, $f(x)$ a la même limite que $\dfrac{4x}{x}$, soit $4$. La fonction $g$ est continue en $4$. Donc $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{4x+1}{x+3}} = \sqrt{4} = 2.$

À retenir. Pour calculer la limite de $g(f(x))$, on cherche d'abord la limite $b$ de « l'intérieur » $f(x)$, puis on regarde ce que fait $g$ près de $b$.

Leçon 4 : Image d'un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires

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4.1 Image d'un intervalle

Théorème (admis). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si, en plus, $f$ est strictement monotone, l'image se lit directement aux bornes. Les crochets ouverts correspondent à des limites :

Attention. Si $f$ n'est pas monotone, il faut le tableau de variation.

Exemple. L'image de $[-1;2]$ par $x \mapsto x^2$ est $[0;4]$, et non $[1;4]$. La fonction descend jusqu'à $0$ (en $x = 0$) avant de remonter jusqu'à $4$.

4.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (admis). Soit $f$ continue sur $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = k$.

Cas particulier très utilisé. Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, c'est-à-dire $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $]a;b[$.

Corollaire (cas strictement monotone). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a;b]$. Ce résultat reste vrai sur un intervalle quelconque, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes.

Méthode : rédiger « l'équation $f(x) = k$ a une unique solution sur $I$ »

1. $f$ est continue sur $I$ (justifier).
2. $f$ est strictement monotone sur $I$ (en général par le signe de $f'$).
3. $k$ appartient à $f(I)$ (calculer l'image ou les limites aux bornes).
4. Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple 12. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et que $\alpha \in\, ]0;1[$.

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.
2. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
3. $\displaystyle\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} f = +\infty$, donc $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$, qui contient $0$.
4. L'équation $f(x) = 0$ a donc une unique solution $\alpha$. De plus, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$, donc $\alpha \in\, ]0;1[$.

4.3 Valeur approchée d'un zéro

Méthode 1 : la dichotomie. On coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où $f$ change de signe. Avec l'exemple 12 :

Après 4 étapes, $0{,}625 < \alpha < 0{,}6875$. Chaque étape divise la largeur par 2.

Méthode 2 : le balayage. On calcule $f$ avec un pas fixe, à la calculatrice. $f(0{,}68) \approx -0{,}0056 < 0$ et $f(0{,}69) \approx 0{,}0185 > 0$, donc $0{,}68 < \alpha < 0{,}69.$ C'est un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Leçon 5 : Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone

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5.1 Le théorème de la bijection

Théorème (existence et continuité admises). Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors :

• $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ : tout $y \in J$ a un unique antécédent $x \in I$ ;
• la fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$, qui à $y$ associe cet antécédent, est continue sur $J$ ;
• $f^{-1}$ est strictement monotone, de même sens que $f$.

L'équivalence à connaître par cœur : $y = f(x) \text{ et } x \in I \iff x = f^{-1}(y) \text{ et } y \in J.$

Démonstration de la monotonie (dans le cas croissant). Soient $y_1 < y_2$ dans $J$. On pose $x_1 = f^{-1}(y_1)$ et $x_2 = f^{-1}(y_2)$. Si on avait $x_1 \geq x_2$, alors, $f$ étant croissante, $f(x_1) \geq f(x_2)$, c'est-à-dire $y_1 \geq y_2$, ce qui est faux. Donc $x_1 < x_2$ : $f^{-1}$ est strictement croissante.

5.2 Courbe de la réciproque

Propriété. Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ (la première bissectrice).

Pourquoi ? Le point $M(x\,;\,y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y = f(x)$, ce qui équivaut à $x = f^{-1}(y)$, c'est-à-dire que le point $M'(y\,;\,x)$ est sur $\mathcal{C}_{f^{-1}}$. Or $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal{D}$.

Méthode : construire $\mathcal{C}_{f^{-1}}$. On trace la droite $y = x$, puis on reporte quelques points remarquables et les tangentes par symétrie. Les asymptotes se transforment aussi : une asymptote horizontale $y = b$ de $\mathcal{C}_f$ devient une asymptote verticale $x = b$ de $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.

5.3 Expression de $f^{-1}(x)$, quand c'est possible

Méthode. On part de $y = f(x)$, avec $x \in I$ et $y \in J$, et on exprime $x$ en fonction de $y$. On obtient $x = f^{-1}(y)$. On renomme enfin la variable pour écrire $f^{-1}(x)$.

Exemple 13. Soit $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$ sur $I = \,]1;+\infty[$.

Bijection. $f$ est rationnelle, donc continue sur $I$. $f'(x) = \dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $I$. De plus, $\displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x) = +\infty$ (numérateur vers $3$, dénominateur vers $0^+$) et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2$. Donc $f$ est une bijection de $I$ sur $J = \,]2;+\infty[$.

Expression. Pour $x \in I$ et $y \in J$ : $y = \frac{2x+1}{x-1} \iff y(x-1) = 2x+1 \iff x(y-2) = y+1 \iff x = \frac{y+1}{y-2}$ (on a bien $y - 2 \neq 0$ puisque $y > 2$).

Conclusion. $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ pour tout $x \in\, ]2;+\infty[$.

Exemple 14. La fonction $x \mapsto x^2$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$. C'est une bijection de $[0;+\infty[$ sur $[0;+\infty[$, et sa réciproque est la fonction racine carrée : $y = x^2$ avec $x \geq 0$ équivaut à $x = \sqrt{y}$.

Quand l'expression est impossible. La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ de l'exemple 12 est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Sa réciproque existe, elle est continue et strictement croissante, mais on ne sait pas l'écrire avec les fonctions usuelles. On peut quand même tracer sa courbe par symétrie.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Une forme indéterminée se lève en transformant l'écriture : factorisation, simplification, expression conjuguée.
2. Une fonction qui oscille s'encadre, puis on applique un théorème de comparaison.
3. Asymptote oblique : $f(x) - (ax+b) \to 0$. Méthode : limite de $\frac{f(x)}{x}$, puis limite de $f(x) - ax$.
4. Continuité en $a$ : $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. On prolonge par continuité quand la limite est réelle.
5. Pour la limite de $g(f(x))$, on cherche la limite de l'intérieur, puis celle de $g$.
6. Théorème des valeurs intermédiaires : continuité et changement de signe donnent au moins une solution ; si en plus $f$ est strictement monotone, la solution est unique.
7. Une fonction continue strictement monotone sur $I$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$. Sa réciproque est continue, de même sens de variation, et sa courbe est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite $y = x$.