Second ordre, le cas $\Delta < 0$ et les oscillations

4.1 L'équation $y'' + \omega^2 y = 0$

Soit $\omega$ un réel strictement positif. L'équation caractéristique $r^2 + \omega^2 = 0$ n'a pas de racine réelle. Pourtant, $\cos(\omega x)$ et $\sin(\omega x)$ sont solutions : $\big(\cos(\omega x)\big)'' = -\omega^2\cos(\omega x), \qquad \big(\sin(\omega x)\big)'' = -\omega^2\sin(\omega x).$

Théorème 6 (admis). Les solutions de $y'' + \omega^2 y = 0$ sont les fonctions $x \longmapsto \lambda\cos(\omega x) + \mu\sin(\omega x), \qquad \lambda, \mu \in \mathbb{R}.$ Elles sont périodiques, de période $\dfrac{2\pi}{\omega}$ : ce sont des oscillations.

Exemple 14. Trouver la solution $f$ de $y'' + 4y = 0$ telle que $f(0) = 1$ et $f'(0) = 2$.

$f(x) = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$ et $f'(x) = -2\lambda\sin 2x + 2\mu\cos 2x$. $f(0) = \lambda = 1$ et $f'(0) = 2\mu = 2$, donc $f(x) = \cos 2x + \sin 2x.$ Avec la formule d'addition (Première), $\sqrt2\cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt2\left(\cos 2x \times \dfrac{\sqrt2}{2} + \sin 2x \times \dfrac{\sqrt2}{2}\right) = f(x)$. L'oscillation a pour amplitude $\sqrt2$ et pour période $\pi$.

4.2 Le cas général $\Delta < 0$

Théorème 7 (admis). On considère $ay'' + by' + cy = 0$ avec $a > 0$ (sinon, on multiplie l'équation par $-1$). Si $\Delta = b^2 - 4ac < 0$, on pose $\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}.$ Les solutions sont les fonctions $x \longmapsto e^{\alpha x}\big(\lambda\cos(\beta x) + \mu\sin(\beta x)\big), \qquad \lambda, \mu \in \mathbb{R}.$

Pour $b = 0$, on retrouve le théorème 6, avec $\alpha = 0$ et $\beta = \omega$. On pourra vérifier sur un exemple que $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ est bien solution (exercice 7). Au chapitre 7, on verra que $\alpha + i\beta$ et $\alpha - i\beta$ sont les racines complexes de l'équation caractéristique.

Exemple 15. Trouver la solution $f$ de $y'' + 2y' + 5y = 0$ telle que $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2$.

$\Delta = 4 - 20 = -16$, donc $\alpha = -1$ et $\beta = \dfrac{\sqrt{16}}{2} = 2$. Les solutions sont $e^{-x}(\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x)$. $f(0) = \lambda = 0$, donc $f(x) = \mu e^{-x}\sin 2x$ et $f'(x) = \mu e^{-x}(2\cos 2x - \sin 2x)$. $f'(0) = 2\mu = 2$ donne $\mu = 1$ : $f(x) = e^{-x}\sin 2x.$ Comme $|\sin 2x| \leq 1$, on a $-e^{-x} \leq f(x) \leq e^{-x}$ : la courbe oscille entre celles de $-e^{-x}$ et de $e^{-x}$, et $f(x) \to 0$ en $+\infty$ (théorème des gendarmes). C'est une oscillation amortie.

4.3 Un modèle : le ressort

Modèle simplifié, données inventées. Un solide accroché à un ressort est écarté de $2$ cm de sa position d'équilibre, puis lâché sans vitesse. On note $x(t)$ sa position en cm à l'instant $t$ (en secondes). Aucune loi de physique n'est à connaître : l'équation est donnée.

Exemple 16.

• Sans frottement, $x'' + 16x = 0$, avec $x(0) = 2$ et $x'(0) = 0$. On trouve $x(t) = 2\cos 4t$ : le solide oscille indéfiniment, avec une amplitude de $2$ cm et une période de $\dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ s.
• Avec frottement, $x'' + 0{,}4\,x' + 16{,}04\,x = 0$, mêmes conditions. $\Delta = 0{,}16 - 64{,}16 = -64$, donc $\alpha = -0{,}2$ et $\beta = 4$. On trouve $x(t) = e^{-0{,}2t}\big(2\cos 4t + 0{,}1\sin 4t\big).$ Les oscillations s'amortissent : $x(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$.

4.4 Bilan : les trois cas et les phénomènes

Quand $a$, $b$ et $c$ sont strictement positifs, comme dans les modèles amortis, les racines réelles sont négatives (leur somme $-\frac{b}{a}$ est négative et leur produit $\frac{c}{a}$ positif) et $\alpha = -\frac{b}{2a}$ est négatif : toutes les solutions tendent vers $0$. Si $b = 0$ et $\dfrac{c}{a} > 0$, il n'y a pas d'amortissement : les oscillations sont entretenues (théorème 6).