L'équation $y' = ay$

1.1 Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée $y$, et qui relie $y$ à ses dérivées $y'$, $y''$.

Par exemple, $y' = 2y$ est une équation différentielle. Une solution sur $\mathbb{R}$ est une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = 2f(x)$ pour tout réel $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.

Exemple 1. On considère l'équation $y' = 2y$.

• $f(x) = e^{2x}$ est solution : $f'(x) = 2e^{2x} = 2f(x)$.
• $g(x) = 3e^{2x}$ est aussi solution : $g'(x) = 6e^{2x} = 2g(x)$.
• $h(x) = x^2$ n'est pas solution : $h'(x) = 2x$, alors que $2h(x) = 2x^2$, et ces deux nombres sont différents pour $x = 1$.

Une équation différentielle a en général une infinité de solutions. On verra qu'une condition initiale, comme $f(0) = 1$, permet d'en choisir une seule.

Vocabulaire. Une équation comme $y' + 3y = 0$ ou $y'' - 2y' + y = 0$, dont le second membre est nul, est dite homogène (ou « sans second membre »). Une équation comme $y' + 3y = 6$ est une équation avec second membre. Le programme se limite aux équations linéaires à coefficients constants du premier et du second ordre.

1.2 Le théorème

Théorème 1. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y' = ay$ sont les fonctions $x \longmapsto \lambda\,e^{ax}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}.$

Démonstration.

1. Ces fonctions sont solutions. Si $f(x) = \lambda e^{ax}$, alors $f'(x) = \lambda a\,e^{ax} = a f(x)$.
2. Il n'y en a pas d'autres. Soit $f$ une solution. On pose $g(x) = f(x)\,e^{-ax}$. Alors $g'(x) = f'(x)\,e^{-ax} - a f(x)\,e^{-ax} = \big(f'(x) - a f(x)\big)\,e^{-ax} = 0.$ La dérivée de $g$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc $g$ est constante : $g(x) = \lambda$. Ainsi $f(x) = \lambda\,e^{ax}$.

L'équation $ay' + by = 0$. Si $a \neq 0$, elle s'écrit $y' = -\dfrac{b}{a}\,y$. Ses solutions sont donc les fonctions $x \longmapsto \lambda\,e^{-\frac{b}{a}x}$.

Attention au signe. $y' + 3y = 0$ s'écrit $y' = -3y$ : les solutions sont $\lambda e^{-3x}$, et non $\lambda e^{3x}$.

1.3 Condition initiale

Théorème 2. Soit $x_0$ et $y_0$ deux réels. L'équation $y' = ay$ admet une solution et une seule $f$ telle que $f(x_0) = y_0$. C'est la fonction $f(x) = y_0\,e^{a(x - x_0)}.$

Démonstration. Les solutions sont les fonctions $\lambda e^{ax}$. La condition $\lambda e^{a x_0} = y_0$ donne une seule valeur, $\lambda = y_0\,e^{-a x_0}$.

Graphiquement, par chaque point du plan passe une seule courbe solution : deux courbes solutions distinctes ne se coupent jamais.

Exemple 2. Résoudre $y' = -3y$, puis trouver la solution $f$ telle que $f(0) = 2$.

Les solutions sont les fonctions $x \longmapsto \lambda e^{-3x}$. La condition $f(0) = \lambda = 2$ donne $f(x) = 2e^{-3x}$.

Exemple 3. Trouver la solution $f$ de $2y' + y = 0$ telle que $f(2) = 1$.

L'équation s'écrit $y' = -\dfrac12\,y$. Les solutions sont $x \longmapsto \lambda e^{-\frac{x}{2}}$. La condition $f(2) = \lambda e^{-1} = 1$ donne $\lambda = e$, donc $f(x) = e \times e^{-\frac{x}{2}} = e^{1 - \frac{x}{2}}.$

Remarque. Une solution non nulle $x \longmapsto \lambda e^{ax}$ ne s'annule jamais et garde le signe de $\lambda$. Si $a\lambda > 0$, elle est strictement croissante ; si $a\lambda < 0$, elle est strictement décroissante.

1.4 Un modèle : la croissance d'une population

Modèle simplifié, données inventées. Une culture contient $1000$ bactéries à l'instant $t = 0$ ($t$ en heures). On admet que le nombre $N(t)$ de bactéries vérifie $N'(t) = 0{,}5\,N(t)$ : la vitesse de croissance est proportionnelle à la population.

Exemple 4.

• D'après le théorème 2, $N(t) = 1000\,e^{0{,}5t}$.
• Temps de doublement. $N(t) = 2000 \iff e^{0{,}5t} = 2 \iff 0{,}5\,t = \ln 2 \iff t = 2\ln 2 \approx 1{,}386$. La population double en $1$ h $23$ min environ, et elle redouble ensuite à chaque nouvelle période de même durée.
• Au bout de $4$ heures : $N(4) = 1000\,e^{2} \approx 7389$ bactéries.