Leçon 4 : Primitives

Le cours écrit

4.1 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $F' = f$ .

Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation.

Exemple. $F(x) = x^3 - x$ est une primitive de $f(x) = 3x^2-1$ sur $\mathbb{R}$ , car $F'(x) = 3x^2-1$ . La fonction $G(x) = x^3 - x + 5$ en est une aussi.

4.2 Existence et ensemble des primitives

Théorème (admis). Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

Propriété. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + c$ , où $c$ est un réel quelconque.

Démonstration. $F + c$ a pour dérivée $F' = f$ : c'est une primitive. Inversement, si $G$ est une primitive, $(G-F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle $I$ , donc $G - F$ est constante (Première).

Propriété (primitive prenant une valeur donnée). Soient $x_0 \in I$ et $y_0$ un réel. Il existe une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$ .

Démonstration. Si $F_1$ est une primitive, les primitives sont les $F_1 + c$ , et la condition $F_1(x_0) + c = y_0$ impose une seule valeur : $c = y_0 - F_1(x_0)$ .

Exemple 15. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x+3$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $1$ .

Les primitives sont $F(x) = x^2+3x+c$ . La condition $F(1) = 0$ donne $4 + c = 0$ , donc $c = -4$ et $F(x) = x^2+3x-4$ .

4.3 Primitives des fonctions usuelles

On lit le tableau des dérivées à l'envers. $c$ désigne une constante réelle quelconque.

$f(x)$	Une primitive $F(x)$	Valable sur
$a$ (constante)	$ax$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \geq 0$ entier)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$]{-\infty};0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x^n}$ ( $n \geq 2$ entier)	$-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$]{-\infty};0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$
$x^r$ ( $r$ rationnel, $r \neq -1$ )	$\dfrac{x^{r+1}}{r+1}$	$]0;+\infty[$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos(ax+b)$ , $a \neq 0$	$\dfrac1a\sin(ax+b)$	$\mathbb{R}$
$\sin(ax+b)$ , $a \neq 0$	$-\dfrac1a\cos(ax+b)$	$\mathbb{R}$
$1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x$	$\left]{-\frac{\pi}{2}}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi\right[$

Le cas $\frac1x$ manque. Aucune fonction de ce tableau n'a pour dérivée $\frac1x$ . Sa primitive sera la fonction logarithme népérien, au chapitre 3.

Linéarité. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ , alors $aF + bG$ est une primitive de $af + bg$ . Attention : il n'y a pas de règle pour un produit ou un quotient. Une primitive de $fg$ n'est pas $FG$ .

Exemple 16. Une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0;+\infty[$ est $F(x) = x^3 - 2x^2 - \dfrac1x$ .

Exemple 17. Une primitive de $g(x) = \cos(2x) - 3\sin x$ sur $\mathbb{R}$ est $G(x) = \dfrac12\sin(2x) + 3\cos x$ .

Vérifier, toujours. On contrôle une primitive en la dérivant : on doit retrouver la fonction de départ.

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Exercices 7 et 8

Exercice 7 : primitives usuelles
Exercice 8 : primitive prenant une valeur donnée

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Corrigés

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