Devoir sur 20 : Dérivation et primitives

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4 (il ne porte que sur le socle commun). Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (7 points)

Calculer la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué. (3 points) a. $f_1(x) = (x^2+3x)^4$ sur $\mathbb{R}$ b. $f_2(x) = \sqrt{4x+1}$ sur $\left]{-\dfrac14};+\infty\right[$ c. $f_3(x) = x\cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$
Déterminer une primitive de chaque fonction sur l'intervalle indiqué. (3 points) a. $g_1(x) = 6x^2 - 4x + \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0;+\infty[$ b. $g_2(x) = (2x+3)(x^2+3x)^2$ sur $\mathbb{R}$ c. $g_3(x) = \cos x\sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(2) = 0$ . (1 point)

Exercice 2 (13 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = (x-1)\sqrt{x}.$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé. On admet les règles de calcul sur les puissances rationnelles.

Justifier que $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$ , puis montrer que, pour $x > 0$ , $f'(x) = \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}.$ (2,5 points)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+} f'(x)$ . Que peut-on en déduire pour la dérivabilité de $f$ en $0$ ? Interpréter graphiquement. (2 points)
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ . On donnera la valeur exacte du minimum. (2,5 points)
On note $g$ la restriction de $f$ à $\left[\dfrac13;+\infty\right[$ . a. Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left[\dfrac13;+\infty\right[$ sur un intervalle $J$ à préciser. (1,5 point) b. Calculer $g(1)$ , puis $(g^{-1})'(0)$ . Donner une équation de la tangente à la courbe de $g^{-1}$ au point d'abscisse $0$ . (2 points)
Vérifier que, pour $x \geq 0$ , $f(x) = x^{\frac32} - x^{\frac12}$ . En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $[0;+\infty[$ telle que $F(1) = 0$ . (2,5 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1.a (1 pt) $u = x^2+3x$ , $u' = 2x+3$ : $f_1'(x) = 4(2x+3)(x^2+3x)^3$ .

1.b (1 pt) $4x+1 > 0$ sur l'intervalle et $u' = 4$ : $f_2'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$ .

1.c (1 pt) Produit, avec $(\cos(2x))' = -2\sin(2x)$ : $f_3'(x) = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$ .

2.a (1 pt) $G_1(x) = 2x^3 - 2x^2 - \dfrac1x$ .

2.b (1 pt) $u = x^2+3x$ , $u' = 2x+3$ : $g_2 = u'u^2$ , d'où $G_2(x) = \dfrac{(x^2+3x)^3}{3}$ .

2.c (1 pt) $u = \sin x$ , $u' = \cos x$ : $g_3 = u'u^2$ , d'où $G_3(x) = \dfrac{\sin^3 x}{3}$ .

3. (1 pt) $f = \frac12\dfrac{u'}{\sqrt u}$ avec $u = x^2+5$ , donc $F(x) = \sqrt{x^2+5} + c$ . $F(2) = 3 + c = 0$ donne $c = -3$ : $F(x) = \sqrt{x^2+5} - 3$ .

Exercice 2

1. (2,5 pts)

(0,5 pt) $f$ est le produit de $x \mapsto x-1$ et de la racine carrée, toutes deux continues sur $[0;+\infty[$ : $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ . La racine carrée n'est dérivable que sur $]0;+\infty[$ , d'où la dérivabilité de $f$ sur $]0;+\infty[$ .
(2 pts) Pour $x > 0$ : $f'(x) = \sqrt{x} + (x-1)\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x + x - 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}}$ .

2. (2 pts)

(1 pt) Quand $x \to 0^+$ , le numérateur tend vers $-1$ et le dénominateur vers $0^+$ : $\displaystyle\lim_{x\to0^+} f'(x) = -\infty$ .
(1 pt) $f$ est continue en $0$ . D'après le théorème de la limite de la dérivée, $f$ n'est pas dérivable en $0$ , et $\mathcal{C}$ a une demi-tangente verticale à l'origine.

3. (2,5 pts)

(0,5 pt) $x - 1 \to +\infty$ et $\sqrt{x} \to +\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ .
(1 pt) Sur $]0;+\infty[$ , $f'(x)$ a le signe de $3x-1$ : $f$ est décroissante sur $\left[0;\frac13\right]$ et croissante sur $\left[\frac13;+\infty\right[$ .
(1 pt) Le minimum vaut $f\left(\frac13\right) = \left(\frac13 - 1\right)\sqrt{\frac13} = -\dfrac{2}{3\sqrt3} = -\dfrac{2\sqrt3}{9} \approx -0{,}385$ . On a aussi $f(0) = 0$ , et la limite $+\infty$ en $+\infty$ .

4.a (1,5 pt) $g$ est continue et strictement croissante sur $\left[\frac13;+\infty\right[$ ( $f' > 0$ pour $x > \frac13$ ). On a $g\left(\frac13\right) = -\frac{2\sqrt3}{9}$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} g = +\infty$ . Donc $g$ est une bijection de $\left[\frac13;+\infty\right[$ sur $J = \left[-\frac{2\sqrt3}{9};+\infty\right[$ .

4.b (2 pts)

(0,5 pt) $g(1) = 0 \times 1 = 0$ , donc $g^{-1}(0) = 1$ .
(1 pt) $g'(1) = \frac{3-1}{2} = 1 \neq 0$ , donc $(g^{-1})'(0) = \dfrac{1}{g'(1)} = 1$ .
(0,5 pt) Le point est $(0;1)$ , la pente $1$ : la tangente a pour équation $y = x + 1$ .

5. (2,5 pts)

(0,5 pt) $(x-1)\sqrt{x} = x \times x^{\frac12} - x^{\frac12} = x^{\frac32} - x^{\frac12}$ .
(1,5 pt) Une primitive est $\dfrac{x^{\frac52}}{\frac52} - \dfrac{x^{\frac32}}{\frac32} = \dfrac25 x^{\frac52} - \dfrac23 x^{\frac32}$ , soit $\dfrac25 x^2\sqrt{x} - \dfrac23 x\sqrt{x}$ .
(0,5 pt) En $1$ , cette primitive vaut $\frac25 - \frac23 = -\frac{4}{15}$ . La primitive nulle en $1$ est donc $F(x) = \frac25 x^2\sqrt{x} - \frac23 x\sqrt{x} + \frac{4}{15}.$

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1	O1 Dérivée d'une composée
Ex. 1, 2	O8 et O10 Primitives usuelles et de composées
Ex. 1, 3	O9 Primitive prenant une valeur donnée
Ex. 2, 1 et 3	O2 Variations
Ex. 2, 2	O6 Dérivabilité en un point par la limite de $f'$
Ex. 2, 4	O3 Dérivée de la réciproque
Ex. 2, 5	O4, O8 et O9 Puissances rationnelles et primitives