Équations dans $\mathbb{C}$

5.1 Racines carrées d'un nombre complexe

Définition. Une racine carrée du complexe $Z$ est un complexe $z$ tel que $z^2 = Z$. Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées (leçon 3).

Cas d'un réel. Si $d > 0$, les racines carrées de $d$ sont $\sqrt d$ et $-\sqrt d$ ; celles de $-d$ sont $i\sqrt d$ et $-i\sqrt d$, car $\left(i\sqrt d\right)^2 = -d$. Par exemple, les racines carrées de $-9$ sont $3i$ et $-3i$.

Attention. L'écriture $\sqrt{\phantom{x}}$ est réservée aux réels positifs : on n'écrit jamais $\sqrt{-9}$ ni $\sqrt{3 + 4i}$.

Méthode algébrique. On cherche $z = x + iy$ ($x$, $y$ réels) tel que $z^2 = Z$, avec $Z = a + ib$.

• $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$, donc par identification : $x^2 - y^2 = a$ et $2xy = b$.
• De plus $|z|^2 = |Z|$ : $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• On obtient $x^2$ et $y^2$ en ajoutant et en retranchant les deux équations en $x^2$ et $y^2$. Le signe de $xy$, qui est celui de $b$, permet de choisir les signes.

Exemple 1. Racines carrées de $Z = 8 - 6i$. $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x^2 + y^2 = |8 - 6i| = 10 \\ 2xy = -6 \end{cases}$ On obtient $x^2 = 9$ et $y^2 = 1$, donc $x = \pm 3$ et $y = \pm 1$. Comme $xy = -3 < 0$, $x$ et $y$ sont de signes contraires : les racines carrées de $8 - 6i$ sont $3 - i$ et $-3 + i$.

Vérification : $(3 - i)^2 = 9 - 6i + i^2 = 8 - 6i$.

5.2 Équation du second degré

Théorème. Soit l'équation $az^2 + bz + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des complexes, $a \neq 0$. On pose $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta = 0$, l'équation a une solution double : $z_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta \neq 0$, et si $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$ ($\delta^2 = \Delta$), l'équation a deux solutions : $z_1 = \frac{-b - \delta}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}.$

Dans tous les cas, $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$, avec $z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}$.

Démonstration. Comme en Première, on écrit la forme canonique : $az^2 + bz + c = a\left[\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right] = a\left[\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\delta}{2a}\right)^2\right] = a\left(z + \frac{b - \delta}{2a}\right)\left(z + \frac{b + \delta}{2a}\right),$ et on conclut avec la règle du produit nul.

Coefficients réels. Si $a$, $b$, $c$ sont réels et $\Delta < 0$, on prend $\delta = i\sqrt{-\Delta}$ : les deux solutions sont conjuguées, $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \overline{z_1}.$

Exemple 2. $z^2 - 2z + 5 = 0$. $\Delta = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$. Les solutions sont $\dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$ et $1 + 2i$.

Exemple 3 (coefficients complexes). $z^2 - (1 + 3i)z - 4 + 3i = 0$.

$\Delta = (1 + 3i)^2 - 4(-4 + 3i) = (1 + 6i - 9) + 16 - 12i = 8 - 6i$. D'après l'exemple 1, $\delta = 3 - i$ convient. Donc $z_1 = \frac{1 + 3i - (3 - i)}{2} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i \qquad z_2 = \frac{1 + 3i + 3 - i}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i.$ Contrôle : $z_1 + z_2 = 1 + 3i$ et $z_1 z_2 = (-1 + 2i)(2 + i) = -2 - i + 4i - 2 = -4 + 3i$.

Équations qui s'y ramènent. Une équation comme $z^4 + 4z^2 - 5 = 0$ se ramène au second degré en posant $Z = z^2$ : $Z^2 + 4Z - 5 = 0$ donne $Z = 1$ ou $Z = -5$, puis $z = \pm 1$ ou $z = \pm i\sqrt5$.

5.3 Factoriser un polynôme : l'équation du troisième degré

Propriété (admise). Si $P$ est un polynôme de degré $3$ à coefficients complexes et si $P(z_0) = 0$, alors il existe un polynôme $Q$ de degré $2$ tel que, pour tout $z$, $P(z) = (z - z_0)\,Q(z)$.

Méthode (équation du troisième degré connaissant une racine).

1. On vérifie que $P(z_0) = 0$ (ou on cherche $z_0$ avec l'indication de l'énoncé).
2. On écrit $P(z) = (z - z_0)(az^2 + bz + c)$, on développe, et on identifie les coefficients (ou on utilise la méthode de Horner, vue en Première S1).
3. On résout $az^2 + bz + c = 0$.

Exemple 4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 - 3z^2 + 7z - 5 = 0$.

$z_0 = 1$ est solution : $1 - 3 + 7 - 5 = 0$. On cherche $a$, $b$, $c$ tels que $z^3 - 3z^2 + 7z - 5 = (z - 1)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b - a)z^2 + (c - b)z - c.$ Identification : $a = 1$, $b - a = -3$, $c - b = 7$, $-c = -5$. D'où $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$ (la troisième égalité sert de contrôle : $5 - (-2) = 7$).

Donc $z^3 - 3z^2 + 7z - 5 = (z - 1)(z^2 - 2z + 5)$, et d'après l'exemple 2, les solutions sont $1$, $1 - 2i$ et $1 + 2i$.