Formules d'Euler et trigonométrie

4.1 Les formules d'Euler

En ajoutant et en retranchant $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ :

Formules d'Euler. Pour tout réel $\theta$ : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad\qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$ Plus généralement, pour tout entier $n$ : $e^{in\theta} + e^{-in\theta} = 2\cos(n\theta)$ et $e^{in\theta} - e^{-in\theta} = 2i\sin(n\theta)$.

4.2 Établir des formules avec la formule de Moivre

On développe $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ avec le binôme de Newton (Première), puis on identifie avec $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.

Rappel : le triangle de Pascal. Les coefficients de $(a + b)^n$ sont :

Par exemple $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Exemple 1 (cos 3θ et sin 3θ). On note $c = \cos\theta$ et $s = \sin\theta$. Avec $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ : $\cos(3\theta) + i\sin(3\theta) = (c + is)^3 = c^3 + 3c^2(is) + 3c(is)^2 + (is)^3 = \left(c^3 - 3cs^2\right) + i\left(3c^2s - s^3\right).$ Par identification, puis avec $s^2 = 1 - c^2$ et $c^2 = 1 - s^2$ : $\cos(3\theta) = c^3 - 3cs^2 = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \qquad \sin(3\theta) = 3c^2s - s^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta.$

Avec $n = 2$, on retrouve les formules de duplication : $\cos(2\theta) = c^2 - s^2$ et $\sin(2\theta) = 2sc$.

Remarque. Le programme précise que les formules ainsi obtenues n'ont pas à être mémorisées : il faut savoir les retrouver.

4.3 Linéariser

Linéariser une expression comme $\cos^n\theta$, $\sin^n\theta$ ou un produit de ces fonctions, c'est l'écrire comme une somme de termes en $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$, sans puissance ni produit. C'est indispensable pour en calculer une primitive (chapitre 5).

Méthode.

1. On remplace chaque cosinus et chaque sinus par sa formule d'Euler.
2. On développe (binôme de Newton).
3. On regroupe les termes deux à deux, $e^{ik\theta}$ avec $e^{-ik\theta}$, et on revient aux cosinus et sinus avec les formules d'Euler.

Exemple 2. Linéariser $\cos^3\theta$. $\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac18\left(e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right),$ car $e^{2i\theta}e^{-i\theta} = e^{i\theta}$. On regroupe : $\dfrac18\Big(2\cos(3\theta) + 6\cos\theta\Big)$, donc $\cos^3\theta = \frac{\cos(3\theta) + 3\cos\theta}{4}.$

Exemple 3. Linéariser $\sin^4\theta$. On a $(2i)^4 = 16$, et les coefficients de la ligne $4$ du triangle de Pascal avec des signes alternés : $\sin^4\theta = \frac{1}{16}\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right)^4 = \frac{1}{16}\left(e^{4i\theta} - 4e^{2i\theta} + 6 - 4e^{-2i\theta} + e^{-4i\theta}\right) = \frac{1}{16}\Big(2\cos(4\theta) - 8\cos(2\theta) + 6\Big),$ $\sin^4\theta = \frac{\cos(4\theta) - 4\cos(2\theta) + 3}{8}.$

Exemple 4 (un produit). $\cos(2\theta)\cos\theta = \dfrac{e^{2i\theta} + e^{-2i\theta}}{2} \times \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \dfrac14\left(e^{3i\theta} + e^{i\theta} + e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right) = \dfrac{\cos(3\theta) + \cos\theta}{2}.$

De la même façon, pour tous réels $a$ et $b$ : $\cos a\cos b = \dfrac{\cos(a + b) + \cos(a - b)}{2}$. Un produit est ainsi converti en somme.

Exemple 5 (application au calcul intégral). $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(3x) + 3\cos x}{4}\,dx = \left[\frac{\sin(3x)}{12} + \frac{3\sin x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{12} + \frac34 = \frac23.$