Limite d'une suite

2.1 Suite convergente, suite divergente

On s'intéresse au comportement de $u_n$ quand $n$ devient très grand, ce qu'on écrit « quand $n$ tend vers $+\infty$ ».

Définition. Soit $\ell$ un réel. La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou tend vers $\ell$) si $u_n$ devient aussi proche de $\ell$ qu'on veut dès que $n$ est assez grand. Autrement dit, tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.$

• Unicité (admise). Si une suite a une limite, cette limite est unique.
• La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $u_n$ dépasse n'importe quel réel $A$ dès que $n$ est assez grand. Même idée pour $-\infty$.
• Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, soit elle n'a pas de limite, comme $\left((-1)^n\right)$, qui vaut alternativement $1$ et $-1$.

Exemple 6. Soit $u_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n \geq 1$. Les termes valent $0$ ; $1{,}5$ ; $0{,}67$ ; $1{,}25$ ; $0{,}8$… Ils se rapprochent de $1$, alternativement par-dessous et par-dessus. Comme $|u_n - 1| = \dfrac1n$, dès que $n > 100$ le terme $u_n$ est à moins de $0{,}01$ de $1$. La suite converge vers $1$.

2.2 Suites définies par $u_n = f(n)$

Propriété (admise). Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, où $\ell$ est un réel, $+\infty$ ou $-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f(n) = \ell$.

Ainsi, les suites $\frac1n$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{\sqrt n}$ tendent vers $0$ ; les suites $n$, $n^2$, $\sqrt n$, $\ln n$, $e^n$ tendent vers $+\infty$ ; la suite $e^{-n}$ tend vers $0$.

Exemple 7.

• $u_n = \dfrac{2n^2+1}{n^2+3}$ : en $+\infty$, la fonction rationnelle associée a la même limite que $\dfrac{2x^2}{x^2}$, donc $\lim u_n = 2$.
• $v_n = n\,e^{-n}$ : par croissance comparée (chapitre 3), $x\,e^{-x} \to 0$ en $+\infty$, donc $\lim v_n = 0$.
• $w_n = \dfrac{\ln n}{n}$ ($n \geq 1$) : $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ en $+\infty$, donc $\lim w_n = 0$.

Attention, la réciproque est fausse. La suite $u_n = \sin(\pi n)$ vaut $0$ pour tout $n$ : elle converge vers $0$. Pourtant la fonction $x \mapsto \sin(\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.

2.3 Opérations sur les limites

Les règles sont les mêmes que pour les fonctions (chapitre 1) : limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une racine carrée. Les quatre formes indéterminées sont les mêmes, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$, et on les lève par les mêmes méthodes.

Exemple 8. Calculer la limite de $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt n$.

C'est une forme $\infty - \infty$. On multiplie par l'expression conjuguée : $u_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim u_n = 0$.

2.4 Théorèmes de comparaison

Ces théorèmes sont admis. Ce sont ceux du chapitre 1, où « pour $x$ assez grand » devient « à partir d'un certain rang ».

Théorème 1 (minoration, majoration).

• Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.

Théorème 2 (théorème des gendarmes). Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le même réel $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Conséquence. Si $|u_n - \ell| \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = 0$, alors $\lim u_n = \ell$.

Théorème 3 (passage à la limite dans une inégalité). Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\ell$ et $\ell'$, alors $\ell \leq \ell'$. En particulier, si $a \leq u_n \leq b$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $a \leq \ell \leq b$.

Attention. Les inégalités strictes deviennent larges à la limite : $\frac1n > 0$ pour tout $n \geq 1$, et pourtant $\lim \frac1n = 0$.

Exemple 9.

• $u_n = n + (-1)^n$ : comme $(-1)^n \geq -1$, on a $u_n \geq n - 1$, et $n - 1 \to +\infty$. Par le théorème 1, $\lim u_n = +\infty$.
• $v_n = 2 + \dfrac{\cos n}{n}$ ($n \geq 1$) : $|v_n - 2| = \dfrac{|\cos n|}{n} \leq \dfrac1n$, et $\frac1n \to 0$. Par la conséquence du théorème 2, $\lim v_n = 2$.

2.5 Suites monotones

Théorème (admis).

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$, et $\ell$ est inférieur ou égal à tout majorant de la suite (théorème 3).

Propriété. Une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$. Une suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.

Démonstration du premier point. Soit $A$ un réel. La suite n'est pas majorée par $A$, donc il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$. Comme elle est croissante, $u_n \geq u_N > A$ pour tout $n \geq N$. Tous les termes dépassent $A$ à partir du rang $N$.

Attention. Le théorème affirme que la suite converge, sans donner sa limite. Un majorant n'est pas forcément la limite : $u_n = 1 - \frac1n$ est croissante et majorée par $5$, mais sa limite est $1$.

Exemple 10. Soit $S_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ pour $n \geq 1$.

Sens de variation. $S_{n+1} - S_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} > 0$ : la suite est strictement croissante.

Majoration. Montrons par récurrence que $S_n \leq 2 - \dfrac1n$ pour tout $n \geq 1$. Pour $n = 1$ : $S_1 = 1 = 2 - 1$. Si $S_n \leq 2 - \frac1n$, alors $S_{n+1} = S_n + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac1n + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{n+1},$ car $\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n(n+1)} \geq \dfrac{1}{(n+1)^2}$.

Conclusion. $S_n \leq 2$ pour tout $n$. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell \leq 2$. Sa valeur exacte, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645$, est hors de portée du programme.