Raisonnement par récurrence, sens de variation

1.1 Ce que tu sais déjà (Première)

Une suite numérique $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$. On la définit de deux façons :

• de façon explicite, $u_n = f(n)$ : par exemple $u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$. On calcule directement n'importe quel terme ;
• par récurrence, avec $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$ : par exemple $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Chaque terme se calcule à partir du précédent : $u_1 = 3$, $u_2 = 7$, $u_3 = 15$.

On représente une suite par les points de coordonnées $(n\,;u_n)$, ou par ses termes placés sur un axe.

1.2 Le raisonnement par récurrence

Principe. Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$, et $n_0$ un entier naturel. Si :

1. Initialisation : $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie ;
2. Hérédité : pour tout entier $n \geq n_0$, si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie ;

alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

C'est l'image d'une file de dominos : le premier tombe (initialisation), et chaque domino qui tombe fait tomber le suivant (hérédité). Alors tous tombent.

Exemple 1. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Montrer que $u_n = 2^{n+1} - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2^{n+1} - 1$ ».

Initialisation. $u_0 = 1$ et $2^1 - 1 = 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c'est-à-dire $u_n = 2^{n+1} - 1$. Alors $u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2\left(2^{n+1} - 1\right) + 1 = 2^{n+2} - 1,$ donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2^{n+1} - 1$.

Exemple 2 (inégalité de Bernoulli). Soit $a$ un réel strictement positif. Montrer que $(1+a)^n \geq 1 + na$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Initialisation. $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ : l'inégalité est vraie pour $n = 0$.

Hérédité. Supposons $(1+a)^n \geq 1 + na$ pour un entier $n$. On multiplie par $1 + a$, qui est strictement positif : $(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a,$ car $na^2 \geq 0$. L'inégalité est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 + na$. Ce résultat servira à la leçon 3.

Attention : les deux étapes sont indispensables. Prenons $\mathcal{P}(n)$ : « $10^n + 1$ est divisible par $9$ ». L'hérédité est vraie : si $10^n + 1 = 9k$, alors $10^{n+1} + 1 = 10\left(10^n + 1\right) - 9 = 9(10k - 1)$. Pourtant l'initialisation est fausse ($10^0 + 1 = 2$), et $\mathcal{P}(n)$ est fausse pour tout $n$ : $10^n - 1 = 99\ldots9$ est divisible par $9$, donc $10^n + 1 = \left(10^n - 1\right) + 2$ a pour reste $2$ dans la division par $9$.

1.3 Sens de variation

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante ; constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.

Méthodes.

1. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
2. Si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
3. Si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0;+\infty[$, la suite a le même sens de variation que $f$.
4. Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on raisonne par récurrence (leçon 4).

Attention. La méthode 3 ne vaut que pour $u_n = f(n)$. Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas celui de la suite : avec $f(x) = \sqrt{x+2}$, qui est croissante, et $u_0 = 7$, on obtient $u_1 = 3$ et $u_2 = \sqrt5 \approx 2{,}24$ : la suite décroît.

Exemple 3. Étudier le sens de variation de $u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$.

$u_{n+1} - u_n = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0.$ La suite $(u_n)$ est strictement croissante. Autre méthode : $u_n = f(n)$ avec $f(x) = \dfrac{3x+1}{x+2}$, et $f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0$ sur $[0;+\infty[$.

Exemple 4. Étudier le sens de variation de $v_n = \dfrac{n}{2^n}$ pour $n \geq 1$.

Les termes sont strictement positifs et $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{n} = \dfrac{n+1}{2n}$. Pour $n \geq 1$, $n + 1 \leq 2n$, donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} \leq 1$ : la suite $(v_n)$ est décroissante à partir du rang $1$. (Elle ne l'est pas depuis le rang $0$ : $v_0 = 0 < v_1 = \frac12$.)

1.4 Suites majorées, minorées, bornées, périodiques

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ;
• minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ;
• bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Une suite croissante est minorée par son premier terme ; une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Exemple 5. On reprend $u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$. On remarque que $u_n = 3 - \dfrac{5}{n+2}$. Comme $\dfrac{5}{n+2} > 0$, on a $u_n < 3$ : la suite est majorée par $3$. Elle est croissante, donc minorée par $u_0 = \frac12$. Ainsi $\dfrac12 \leq u_n < 3$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

Suites périodiques. La suite $(u_n)$ est périodique de période $p$ ($p$ entier naturel non nul) si $u_{n+p} = u_n$ pour tout $n$. Par exemple, $u_n = (-1)^n$ est périodique de période $2$, et $w_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$, qui vaut $1, 0, -1, 0, 1, \ldots$, est périodique de période $4$. Une suite périodique ne prend qu'un nombre fini de valeurs : elle est bornée.