Compléments pour les séries S1, S3 et S1A

8.1 Suite géométrique $(z^n)$ et sommes

Comme dans $\mathbb{R}$ (Première), pour tout complexe $z \neq 1$ et tout entier naturel $n$ : $1 + z + z^2 + \dots + z^n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.$ Démonstration. Si $S = 1 + z + \dots + z^n$, alors $zS = z + z^2 + \dots + z^{n+1}$, et $S - zS = 1 - z^{n+1}$.

Le programme indique que cette partie se traite en travaux dirigés : voir les exercices 12 et 13.

Somme des racines $n$-ièmes de l'unité. Pour $n \geq 2$ et $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}} \neq 1$ : $1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = 0, \quad\text{car } \omega^n = 1.$ Géométriquement, le centre de gravité des sommets du polygone régulier est le point $O$.

Application à la trigonométrie. En prenant la partie réelle, pour $n \geq 2$ : $1 + \cos\frac{2\pi}{n} + \cos\frac{4\pi}{n} + \dots + \cos\frac{2(n-1)\pi}{n} = 0.$

Exemple 1 (valeur exacte de $\cos\frac{2\pi}{5}$). Avec $n = 5$ : $1 + \cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5} + \cos\frac{6\pi}{5} + \cos\frac{8\pi}{5} = 0$. Comme $\cos\frac{8\pi}{5} = \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos\frac{6\pi}{5} = \cos\frac{4\pi}{5}$, on obtient, avec $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$ : $1 + 2c + 2(2c^2 - 1) = 0, \qquad\text{soit}\qquad 4c^2 + 2c - 1 = 0.$ Comme $c > 0$, $c = \dfrac{-1 + \sqrt5}{4}$.

L'angle moitié. Pour factoriser $1 + e^{i\alpha}$ ou $1 - e^{i\alpha}$, on met $e^{i\frac{\alpha}{2}}$ en facteur, puis on applique les formules d'Euler : $1 + e^{i\alpha} = e^{i\frac{\alpha}{2}}\left(e^{-i\frac{\alpha}{2}} + e^{i\frac{\alpha}{2}}\right) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\;e^{i\frac{\alpha}{2}} \qquad 1 - e^{i\alpha} = -2i\sin\frac{\alpha}{2}\;e^{i\frac{\alpha}{2}}.$ C'est l'outil qui permet de calculer des sommes comme $1 + \cos x + \cos(2x) + \dots + \cos(nx)$ (exercice 13).

8.2 Transformer $p\cos x + q\sin x$

Soit $p$ et $q$ deux réels non tous deux nuls. On écrit $p + iq$ sous forme exponentielle (c'est l'indication du programme) : $p + iq = r\,e^{i\varphi}, \qquad r = \sqrt{p^2 + q^2}.$ Alors $p = r\cos\varphi$, $q = r\sin\varphi$, et avec la formule d'addition $\cos(x - \varphi) = \cos x\cos\varphi + \sin x\sin\varphi$ : $p\cos x + q\sin x = r(\cos\varphi\cos x + \sin\varphi\sin x) = r\cos(x - \varphi).$

Exemple 2. $\sqrt3\cos x + \sin x$. On a $\sqrt3 + i = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$, donc $\sqrt3\cos x + \sin x = 2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.

Résoudre $p\cos x + q\sin x = c$ ($c$ réel). L'équation équivaut à $\cos(x - \varphi) = \dfrac{c}{r}$. Elle a des solutions si et seulement si $|c| \leq r$.

Exemple 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sqrt3\cos x + \sin x = \sqrt2$.

L'équation s'écrit $2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt2$, soit $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4}$. Donc $x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x - \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ : $x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \qquad\text{ou}\qquad x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

8.3 Convertir une somme en produit

La leçon 4 a converti des produits en sommes. Inversement, avec l'angle moitié, pour tous réels $p$ et $q$ : $e^{ip} + e^{iq} = e^{i\frac{p+q}{2}}\left(e^{i\frac{p-q}{2}} + e^{-i\frac{p-q}{2}}\right) = 2\cos\frac{p - q}{2}\;e^{i\frac{p+q}{2}}.$ En prenant les parties réelle et imaginaire : $\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2} \qquad \sin p + \sin q = 2\sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}.$

Exemple 4. Résoudre $\cos x + \cos(3x) = 0$. On a $\cos(3x) + \cos x = 2\cos(2x)\cos x$, donc l'équation équivaut à $\cos(2x) = 0$ ou $\cos x = 0$, soit $x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$ ou $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

8.4 Cocyclicité

Propriété. Soit $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points distincts, trois d'entre eux n'étant jamais alignés. Ils sont cocycliques (sur un même cercle) si et seulement si le nombre $\frac{z_C - z_A}{z_D - z_A} \times \frac{z_D - z_B}{z_C - z_B}$ est réel.

Justification. D'après le théorème de l'angle inscrit (Première), les quatre points sont cocycliques si et seulement si $\big(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}\big)\ [\pi]$. Or $\big(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC}\big) - \big(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}\big)$ est un argument du nombre ci-dessus, et un complexe non nul a un argument multiple de $\pi$ si et seulement s'il est réel.

Exemple 5. $A(1)$, $B(i)$, $C(-1)$, $D(-i)$ sont sur le cercle trigonométrique. On vérifie : $\dfrac{-1 - 1}{-i - 1} \times \dfrac{-i - i}{-1 - i} = \dfrac{-2}{-1 - i} \times \dfrac{-2i}{-1 - i} = \dfrac{4i}{(1 + i)^2} = \dfrac{4i}{2i} = 2$, qui est réel.