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Évaluation de progression · Chapitre 7

Devoir sur 20 : Complexes et similitudes

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4 (il ne porte que sur le socle commun). Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ;u⃗,v⃗)(O\,;\vec u, \vec v).

Exercice 1 (8 points)

On pose z1=3+iz_1 = \sqrt3 + i et z2=1−iz_2 = 1 - i.

  1. Écrire z1z_1 et z2z_2 sous forme exponentielle. (2 points)
  2. Écrire Z=z1z2Z = \dfrac{z_1}{z_2} sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. (2 points)
  3. En déduire les valeurs exactes de cos⁡5π12\cos\dfrac{5\pi}{12} et de sin⁡5π12\sin\dfrac{5\pi}{12}. (2 points)
  4. À l'aide des formules d'Euler, linéariser sin⁡2xcos⁡x\sin^2 x\cos x. (2 points)

Exercice 2 (12 points)

Soit P(z)=z3−(5+5i)z2+18iz+10−10iP(z) = z^3 - (5 + 5i)z^2 + 18iz + 10 - 10i.

  1. Vérifier que P(1+i)=0P(1 + i) = 0. (1 point)
  2. Déterminer les complexes pp et qq tels que, pour tout complexe zz, P(z)=(z−1−i)(z2+pz+q)P(z) = (z - 1 - i)(z^2 + pz + q). (2 points)
  3. Vérifier que (2−2i)2=−8i(2 - 2i)^2 = -8i, puis résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P(z) = 0. (3 points)
  4. On note AA, BB, CC les points d'affixes 1+i1 + i, 3+i3 + i et 1+3i1 + 3i. Calculer zC−zAzB−zA\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}, puis en déduire la nature du triangle ABCABC. (2 points)
  5. Soit rr la rotation de centre AA qui transforme BB en CC. Donner son angle, puis son écriture complexe. (2 points)
  6. Déterminer l'affixe du point DD tel que ABDCABDC soit un carré. (2 points)
Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (2 pts)

  • (1 pt) ∣z1∣=3+1=2|z_1| = \sqrt{3 + 1} = 2, cos⁡θ=32\cos\theta = \frac{\sqrt3}{2}, sin⁡θ=12\sin\theta = \frac12 : z1=2eiπ6z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}.
  • (1 pt) ∣z2∣=2|z_2| = \sqrt2, cos⁡θ=22\cos\theta = \frac{\sqrt2}{2}, sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt2}{2} : z2=2 e−iπ4z_2 = \sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}.

2. (2 pts)

  • (1 pt) Z=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+i3+i−12=3−12+i 3+12Z = \dfrac{\left(\sqrt3 + i\right)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{\sqrt3 + i\sqrt3 + i - 1}{2} = \dfrac{\sqrt3 - 1}{2} + i\,\dfrac{\sqrt3 + 1}{2}.
  • (1 pt) Z=22 ei(π6+π4)=2 ei5π12Z = \dfrac{2}{\sqrt2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt2\,e^{i\frac{5\pi}{12}}.

3. (2 pts) On identifie 2(cos⁡5π12+isin⁡5π12)\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right) avec la forme algébrique :

  • (1 pt) cos⁡5π12=3−122=6−24\cos\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} ;
  • (1 pt) sin⁡5π12=3+122=6+24\sin\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

4. (2 pts)

  • (1 pt) sin⁡2xcos⁡x=(eix−e−ix2i)2×eix+e−ix2=−18(e2ix−2+e−2ix)(eix+e−ix)\sin^2 x\cos x = \left(\dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 \times \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = -\dfrac18\left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{ix} + e^{-ix}\right).
  • (1 pt) =−18(e3ix−eix−e−ix+e−3ix)=−18(2cos⁡(3x)−2cos⁡x)=cos⁡x−cos⁡(3x)4= -\dfrac18\left(e^{3ix} - e^{ix} - e^{-ix} + e^{-3ix}\right) = -\dfrac18\Big(2\cos(3x) - 2\cos x\Big) = \dfrac{\cos x - \cos(3x)}{4}.

Exercice 2

1. (1 pt) (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i et (1+i)3=−2+2i(1 + i)^3 = -2 + 2i. Donc P(1+i)=(−2+2i)−(5+5i)(2i)+18i(1+i)+10−10i=(−2+2i)+(10−10i)+(−18+18i)+(10−10i)=0P(1 + i) = (-2 + 2i) - (5 + 5i)(2i) + 18i(1 + i) + 10 - 10i = (-2 + 2i) + (10 - 10i) + (-18 + 18i) + (10 - 10i) = 0.

2. (2 pts)

  • (1 pt) (z−1−i)(z2+pz+q)=z3+(p−1−i)z2+(q−(1+i)p)z−(1+i)q(z - 1 - i)(z^2 + pz + q) = z^3 + \big(p - 1 - i\big)z^2 + \big(q - (1 + i)p\big)z - (1 + i)q.
  • (1 pt) Identification : p−1−i=−5−5ip - 1 - i = -5 - 5i donne p=−4−4ip = -4 - 4i ; −(1+i)q=10−10i-(1 + i)q = 10 - 10i donne q=−10+10i1+i=(−10+10i)(1−i)2=10iq = \dfrac{-10 + 10i}{1 + i} = \dfrac{(-10 + 10i)(1 - i)}{2} = 10i. Contrôle : q−(1+i)p=10i+(1+i)(4+4i)=10i+8i=18iq - (1 + i)p = 10i + (1 + i)(4 + 4i) = 10i + 8i = 18i.

3. (3 pts)

  • (1 pt) (2−2i)2=4−8i+4i2=−8i(2 - 2i)^2 = 4 - 8i + 4i^2 = -8i.
  • (1 pt) z2−(4+4i)z+10i=0z^2 - (4 + 4i)z + 10i = 0 : Δ=(4+4i)2−40i=32i−40i=−8i=(2−2i)2\Delta = (4 + 4i)^2 - 40i = 32i - 40i = -8i = (2 - 2i)^2.
  • (1 pt) z=4+4i±(2−2i)2z = \dfrac{4 + 4i \pm (2 - 2i)}{2} : 3+i3 + i ou 1+3i1 + 3i. Les solutions de P(z)=0P(z) = 0 sont 1+i1 + i, 3+i3 + i et 1+3i1 + 3i.

4. (2 pts)

  • (1 pt) zC−zAzB−zA=2i2=i\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{2i}{2} = i.
  • (1 pt) AC=ABAC = AB et (AB→,AC→)=π2 [2π]\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi] : le triangle ABCABC est rectangle isocèle en AA.

5. (2 pts)

  • (1 pt) AB=ACAB = AC et (AB→,AC→)=π2\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \dfrac{\pi}{2} : l'angle de rr est π2\dfrac{\pi}{2}.
  • (1 pt) z′−(1+i)=i(z−(1+i))z' - (1 + i) = i\big(z - (1 + i)\big), soit z′=iz+2z' = iz + 2. Contrôle : i(3+i)+2=1+3i=zCi(3 + i) + 2 = 1 + 3i = z_C.

6. (2 pts)

  • (1 pt) Le triangle ABCABC étant rectangle isocèle en AA, ABDCABDC est un carré si et seulement si BD→=AC→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}.
  • (1 pt) zD=zB+zC−zA=(3+i)+(1+3i)−(1+i)=3+3iz_D = z_B + z_C - z_A = (3 + i) + (1 + 3i) - (1 + i) = 3 + 3i.
Compétences évaluées
Question Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 et 2 O1 et O4 Formes algébrique, trigonométrique, exponentielle ; quotient
Ex. 1, 3 O8 Établir une formule de trigonométrie
Ex. 1, 4 O8 Linéariser avec les formules d'Euler
Ex. 2, 1 à 3 O9 et O10 Racine carrée, équation du second degré, équation du troisième degré connaissant une racine
Ex. 2, 4 et 6 O11 Nature d'une configuration géométrique
Ex. 2, 5 O12 Écriture complexe d'une rotation
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