Dérivée de la fonction réciproque, puissances rationnelles

2.1 Le théorème

On reprend le chapitre 1 : si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$, et sa réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$.

Théorème. On suppose de plus $f$ dérivable sur $I$. Soit $x_0 \in I$ et $y_0 = f(x_0)$.

• Si $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)}.$
• Si $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $(f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$.

Bien lire la formule. Dans $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$, on calcule d'abord l'antécédent $x_0 = f^{-1}(y_0)$, puis la dérivée de $f$ en cet antécédent, et on prend l'inverse.

Pourquoi ? Pour $y \neq y_0$ dans $J$, on pose $x = f^{-1}(y)$, et donc $y = f(x)$. Le taux d'accroissement de $f^{-1}$ est l'inverse de celui de $f$ : $\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.$ Quand $y \to y_0$, $x \to x_0$ car $f^{-1}$ est continue, et le dénominateur tend vers $f'(x_0) \neq 0$.

Interprétation graphique. Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ (repère orthonormé). La tangente en $M(x_0;y_0)$ à $\mathcal{C}_f$, de pente $f'(x_0)$, a pour symétrique la tangente en $M'(y_0;x_0)$ à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$, de pente $\frac{1}{f'(x_0)}$. Si $f'(x_0) = 0$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale ; sa symétrique est verticale, et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$.

Exemple 5. Au chapitre 1, $f(x) = x^3+x-1$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, mais on ne sait pas écrire $f^{-1}$. On peut pourtant calculer sa dérivée en certains points.

• $f'(x) = 3x^2+1$ ne s'annule jamais, donc $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• $f(1) = 1$, donc $f^{-1}(1) = 1$ et $(f^{-1})'(1) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac14$.
• $f(0) = -1$, donc $(f^{-1})'(-1) = \dfrac{1}{f'(0)} = 1$.

La tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ au point $(1;1)$ a pour équation $y = \frac14(x-1)+1$.

2.2 La racine n-ième

Soit $n \geq 2$ un entier. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, avec $0^n = 0$ et une limite $+\infty$ en $+\infty$. C'est donc une bijection de $[0;+\infty[$ sur $[0;+\infty[$.

Définition. Sa réciproque est la racine n-ième, notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ ou $x \mapsto x^{\frac1n}$. Pour $x \geq 0$ et $y \geq 0$ : $y = x^{\frac1n} \iff y^n = x$. Pour $n = 2$, c'est la racine carrée.

Dérivée. La dérivée de $x \mapsto x^n$ est $nx^{n-1}$, qui ne s'annule pas sur $]0;+\infty[$. Pour $x > 0$ : $\left(x^{\frac1n}\right)' = \frac{1}{n\left(x^{\frac1n}\right)^{n-1}} = \frac{1}{n}\,x^{\frac1n - 1}.$ En $0$, la dérivée de $x^n$ est nulle : la racine n-ième n'est pas dérivable en 0, sa courbe y a une tangente verticale.

2.3 Puissances rationnelles

Pour $x > 0$ et $r = \frac{p}{q}$ rationnel ($p$ entier, $q \geq 1$ entier), on pose $x^r = \left(x^{\frac1q}\right)^p$. On admet que les règles de calcul sur les puissances restent vraies : $x^r x^s = x^{r+s}$, $(x^r)^s = x^{rs}$, $x^{-r} = \frac{1}{x^r}$. Par exemple $x^{\frac12} = \sqrt{x}$ et $x^{\frac32} = x\sqrt{x}$.

Propriété. Pour tout rationnel $r$, la fonction $x \mapsto x^r$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(x^r)' = r\,x^{r-1}.$ C'est la même formule que pour $x^n$. Elle s'obtient en dérivant la composée $\left(x^{\frac1q}\right)^p$ avec les leçons 1 et 2.

Avec une composée. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ : $(u^r)' = r\,u'\,u^{r-1}$.

Exemple 6. $f(x) = x^{\frac32} = x\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$ : $f'(x) = \frac32 x^{\frac12} = \frac32\sqrt{x}$. On retrouve ce résultat avec la règle du produit : $\sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac32\sqrt{x}$.

Exemple 7. $g(x) = (x^2+1)^{\frac13}$ sur $\mathbb{R}$ (on a toujours $x^2+1 > 0$) : $g'(x) = \frac13 \times 2x \times (x^2+1)^{-\frac23} = \frac{2x}{3(x^2+1)^{\frac23}}.$