Dérivation et primitives

Leçon 1 : Dérivée d'une fonction composée

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1.1 Ce que tu sais déjà (Première)

Dérivées des fonctions usuelles

Règles de calcul. Pour $u$ et $v$ dérivables sur $I$ et $k$ réel : $(u+v)' = u'+v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v+uv' \qquad \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ (les deux dernières là où $v$ ne s'annule pas). Et la dérivée de $x \mapsto f(ax+b)$ est $x \mapsto a\,f'(ax+b)$.

Deux usages de la dérivée.

• La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
• Sur un intervalle, si $f' \geq 0$, $f$ est croissante ; si $f' > 0$, $f$ est strictement croissante ; de même pour la décroissance (admis en Première).

1.2 Le théorème

Théorème. Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$, et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ contenant $u(I)$. Alors la composée $g \circ u : x \mapsto g\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ u)'(x) = g'\big(u(x)\big) \times u'(x).$

Bien lire la formule. On dérive la fonction « extérieure » $g$ en gardant l'intérieur $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Le cas $u(x) = ax+b$ redonne la règle de Première : $a\,g'(ax+b)$.

Pourquoi ? Pour $x$ proche de $a$, avec $u(x) \neq u(a)$, on écrit le taux d'accroissement en deux morceaux : $\frac{g(u(x)) - g(u(a))}{x-a} = \frac{g(u(x)) - g(u(a))}{u(x)-u(a)} \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a}.$ Quand $x \to a$, $u(x) \to u(a)$ car $u$ est continue. Le premier facteur tend vers $g'(u(a))$, le second vers $u'(a)$. Cette justification suppose $u(x) \neq u(a)$ près de $a$ ; le cas général s'admet.

1.3 Les formules à connaître

$u$ est une fonction dérivable sur $I$.

Exemple 1. $f(x) = (2x^2-3)^4$. On pose $u(x) = 2x^2-3$, donc $u'(x) = 4x$ : $f'(x) = 4 \times 4x \times (2x^2-3)^3 = 16x(2x^2-3)^3.$

Exemple 2. $g(x) = \sqrt{x^2+x+1}$. Le discriminant de $x^2+x+1$ vaut $-3 < 0$, donc $x^2+x+1 > 0$ pour tout réel $x$, et $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : $g'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}.$

Exemple 3. $h(x) = \sin(x^2)$ donne $h'(x) = 2x\cos(x^2)$. Et $k(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$ donne $k'(x) = 3(-\sin x)\cos^2 x = -3\sin x\cos^2 x$.

Piège classique. $\sin(x^2)$ et $\sin^2 x = (\sin x)^2$ ne sont pas la même fonction. La première a pour dérivée $2x\cos(x^2)$, la seconde $2\sin x\cos x$.

1.4 Application : sens de variation

Exemple 4. Étudier les variations de $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ sur $[-2;2]$.

Sur $]{-2};2[$, $4-x^2 > 0$. Par la règle du produit et la formule de $\sqrt{u}$ : $f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \times \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{(4-x^2) - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}.$ Le dénominateur est positif, donc $f'(x)$ a le signe de $2 - x^2$ : positif sur $]-\sqrt2;\sqrt2[$, négatif ailleurs.

$f$ est décroissante sur $[-2;-\sqrt2]$, croissante sur $[-\sqrt2;\sqrt2]$, décroissante sur $[\sqrt2;2]$. Son minimum est $f(-\sqrt2) = -2$, son maximum $f(\sqrt2) = \sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. On reverra cette fonction en $2$ à la leçon 3.

Leçon 2 : Dérivée de la fonction réciproque, puissances rationnelles

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2.1 Le théorème

On reprend le chapitre 1 : si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$, et sa réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$.

Théorème. On suppose de plus $f$ dérivable sur $I$. Soit $x_0 \in I$ et $y_0 = f(x_0)$.

• Si $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)}.$
• Si $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $(f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$.

Bien lire la formule. Dans $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$, on calcule d'abord l'antécédent $x_0 = f^{-1}(y_0)$, puis la dérivée de $f$ en cet antécédent, et on prend l'inverse.

Pourquoi ? Pour $y \neq y_0$ dans $J$, on pose $x = f^{-1}(y)$, et donc $y = f(x)$. Le taux d'accroissement de $f^{-1}$ est l'inverse de celui de $f$ : $\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.$ Quand $y \to y_0$, $x \to x_0$ car $f^{-1}$ est continue, et le dénominateur tend vers $f'(x_0) \neq 0$.

Interprétation graphique. Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ (repère orthonormé). La tangente en $M(x_0;y_0)$ à $\mathcal{C}_f$, de pente $f'(x_0)$, a pour symétrique la tangente en $M'(y_0;x_0)$ à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$, de pente $\frac{1}{f'(x_0)}$. Si $f'(x_0) = 0$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale ; sa symétrique est verticale, et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$.

Exemple 5. Au chapitre 1, $f(x) = x^3+x-1$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, mais on ne sait pas écrire $f^{-1}$. On peut pourtant calculer sa dérivée en certains points.

• $f'(x) = 3x^2+1$ ne s'annule jamais, donc $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• $f(1) = 1$, donc $f^{-1}(1) = 1$ et $(f^{-1})'(1) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac14$.
• $f(0) = -1$, donc $(f^{-1})'(-1) = \dfrac{1}{f'(0)} = 1$.

La tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ au point $(1;1)$ a pour équation $y = \frac14(x-1)+1$.

2.2 La racine n-ième

Soit $n \geq 2$ un entier. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, avec $0^n = 0$ et une limite $+\infty$ en $+\infty$. C'est donc une bijection de $[0;+\infty[$ sur $[0;+\infty[$.

Définition. Sa réciproque est la racine n-ième, notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ ou $x \mapsto x^{\frac1n}$. Pour $x \geq 0$ et $y \geq 0$ : $y = x^{\frac1n} \iff y^n = x$. Pour $n = 2$, c'est la racine carrée.

Dérivée. La dérivée de $x \mapsto x^n$ est $nx^{n-1}$, qui ne s'annule pas sur $]0;+\infty[$. Pour $x > 0$ : $\left(x^{\frac1n}\right)' = \frac{1}{n\left(x^{\frac1n}\right)^{n-1}} = \frac{1}{n}\,x^{\frac1n - 1}.$ En $0$, la dérivée de $x^n$ est nulle : la racine n-ième n'est pas dérivable en 0, sa courbe y a une tangente verticale.

2.3 Puissances rationnelles

Pour $x > 0$ et $r = \frac{p}{q}$ rationnel ($p$ entier, $q \geq 1$ entier), on pose $x^r = \left(x^{\frac1q}\right)^p$. On admet que les règles de calcul sur les puissances restent vraies : $x^r x^s = x^{r+s}$, $(x^r)^s = x^{rs}$, $x^{-r} = \frac{1}{x^r}$. Par exemple $x^{\frac12} = \sqrt{x}$ et $x^{\frac32} = x\sqrt{x}$.

Propriété. Pour tout rationnel $r$, la fonction $x \mapsto x^r$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(x^r)' = r\,x^{r-1}.$ C'est la même formule que pour $x^n$. Elle s'obtient en dérivant la composée $\left(x^{\frac1q}\right)^p$ avec les leçons 1 et 2.

Avec une composée. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ : $(u^r)' = r\,u'\,u^{r-1}$.

Exemple 6. $f(x) = x^{\frac32} = x\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$ : $f'(x) = \frac32 x^{\frac12} = \frac32\sqrt{x}$. On retrouve ce résultat avec la règle du produit : $\sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac32\sqrt{x}$.

Exemple 7. $g(x) = (x^2+1)^{\frac13}$ sur $\mathbb{R}$ (on a toujours $x^2+1 > 0$) : $g'(x) = \frac13 \times 2x \times (x^2+1)^{-\frac23} = \frac{2x}{3(x^2+1)^{\frac23}}.$

Leçon 3 : Dérivées successives, dérivabilité en un point, inégalité des accroissements finis

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3.1 Dérivées successives

Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde $f'' = (f')'$. On continue : $f''' = (f'')'$, puis, pour tout entier $n \geq 1$, la dérivée n-ième $f^{(n)} = \big(f^{(n-1)}\big)'$, avec la convention $f^{(0)} = f$.

Exemple 8. $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ : $f'(x) = 3x^2-4x+5$, $f''(x) = 6x-4$, $f'''(x) = 6$, et $f^{(4)}(x) = 0$. Pour un polynôme de degré $3$, toutes les dérivées à partir de la quatrième sont nulles.

Exemple 9. $f(x) = \dfrac1x$ sur $]0;+\infty[$ : $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$, $f'''(x) = -\dfrac{6}{x^4}$.

Exemple 10. Les dérivées de $\sin$ reviennent tous les quatre coups : $\sin' = \cos$, $\sin'' = -\sin$, $\sin''' = -\cos$, $\sin^{(4)} = \sin$.

En physique. Si $x(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, sa vitesse est $v(t) = x'(t)$ et son accélération est $a(t) = v'(t) = x''(t)$.

3.2 Dérivabilité en un point : la limite de la dérivée

Rappel. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite réelle quand $x \to a$. Aux bornes d'un intervalle, on parle de dérivabilité à droite ou à gauche.

Calculer ce taux est parfois long. Le théorème suivant permet de conclure avec la limite de $f'$.

Théorème (admis en S2-S4, démontré en S1-S3 à la leçon 7). Soit $f$ continue en $a$ et dérivable sur un intervalle $]a;b[$. On suppose que $f'(x)$ a une limite $\ell$ quand $x \to a^+$.

• Si $\ell$ est un réel, $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f'_d(a) = \ell$. La courbe a une demi-tangente de pente $\ell$.
• Si $\ell = +\infty$ ou $-\infty$, le taux d'accroissement tend aussi vers $\ell$ : $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$, et la courbe a une demi-tangente verticale.

Le même énoncé vaut à gauche de $a$.

Attention. L'hypothèse « $f$ continue en $a$ » est indispensable. Et si $f'$ n'a pas de limite en $a$, on ne peut rien conclure : on revient au taux d'accroissement.

Exemple 11. $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$. $f$ est continue en $0$, et pour $x > 0$, $f'(x) = \frac32\sqrt{x} \to 0$ quand $x \to 0^+$. Donc $f$ est dérivable à droite en $0$, avec $f'(0) = 0$ : demi-tangente horizontale.

Exemple 12. On reprend $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ de l'exemple 4, continue sur $[-2;2]$. Quand $x \to 2^-$, $f'(x) = \dfrac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}$ a un numérateur qui tend vers $-4$ et un dénominateur qui tend vers $0^+$, donc $f'(x) \to -\infty$. $f$ n'est pas dérivable en $2$ : la courbe y a une demi-tangente verticale.

3.3 Inégalité des accroissements finis

Théorème. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

1. Soient $a < b$ dans $I$. Si $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in [a;b]$, alors $m(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq M(b-a).$
2. Si $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in I$, alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : $|f(b)-f(a)| \leq M\,|b-a|.$

Démonstration de la forme 1. La fonction $g(x) = Mx - f(x)$ a pour dérivée $g'(x) = M - f'(x) \geq 0$ sur $[a;b]$ : elle est croissante. Donc $g(a) \leq g(b)$, c'est-à-dire $Ma - f(a) \leq Mb - f(b)$, soit $f(b)-f(a) \leq M(b-a)$. L'autre inégalité s'obtient de la même façon avec $h(x) = f(x) - mx$. La forme 2 s'en déduit en prenant $m = -M$.

Sens concret. Si la vitesse d'une voiture reste entre $m$ et $M$, la distance parcourue pendant une durée $b-a$ reste entre $m(b-a)$ et $M(b-a)$.

Exemple 13. Pour tous réels $a$ et $b$, $|\sin b - \sin a| \leq |b-a|$. En effet, $|\sin'(x)| = |\cos x| \leq 1$ pour tout $x$. Avec $a = 0$, on obtient $|\sin b| \leq |b|$ pour tout réel $b$.

Exemple 14. Encadrer $\sqrt{4{,}1}$.

On applique la forme 1 à $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[4;4{,}1]$, avec $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Pour $4 \leq x \leq 4{,}1$, on a $2 \leq \sqrt{x} \leq 2{,}1$ (car $2{,}1^2 = 4{,}41$), donc $\frac{1}{4{,}2} \leq f'(x) \leq \frac14.$ Avec $b - a = 0{,}1$ : $\dfrac{0{,}1}{4{,}2} \leq \sqrt{4{,}1} - 2 \leq \dfrac{0{,}1}{4}$, d'où $2 + \frac{1}{42} \leq \sqrt{4{,}1} \leq 2{,}025, \quad\text{soit}\quad 2{,}023 < \sqrt{4{,}1} \leq 2{,}025.$

Leçon 4 : Primitives

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4.1 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $F' = f$.

Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation.

Exemple. $F(x) = x^3 - x$ est une primitive de $f(x) = 3x^2-1$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 3x^2-1$. La fonction $G(x) = x^3 - x + 5$ en est une aussi.

4.2 Existence et ensemble des primitives

Théorème (admis). Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

Propriété. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + c$, où $c$ est un réel quelconque.

Démonstration. $F + c$ a pour dérivée $F' = f$ : c'est une primitive. Inversement, si $G$ est une primitive, $(G-F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle $I$, donc $G - F$ est constante (Première).

Propriété (primitive prenant une valeur donnée). Soient $x_0 \in I$ et $y_0$ un réel. Il existe une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Démonstration. Si $F_1$ est une primitive, les primitives sont les $F_1 + c$, et la condition $F_1(x_0) + c = y_0$ impose une seule valeur : $c = y_0 - F_1(x_0)$.

Exemple 15. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x+3$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $1$.

Les primitives sont $F(x) = x^2+3x+c$. La condition $F(1) = 0$ donne $4 + c = 0$, donc $c = -4$ et $F(x) = x^2+3x-4$.

4.3 Primitives des fonctions usuelles

On lit le tableau des dérivées à l'envers. $c$ désigne une constante réelle quelconque.

Le cas $\frac1x$ manque. Aucune fonction de ce tableau n'a pour dérivée $\frac1x$. Sa primitive sera la fonction logarithme népérien, au chapitre 3.

Linéarité. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $aF + bG$ est une primitive de $af + bg$. Attention : il n'y a pas de règle pour un produit ou un quotient. Une primitive de $fg$ n'est pas $FG$.

Exemple 16. Une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0;+\infty[$ est $F(x) = x^3 - 2x^2 - \dfrac1x$.

Exemple 17. Une primitive de $g(x) = \cos(2x) - 3\sin x$ sur $\mathbb{R}$ est $G(x) = \dfrac12\sin(2x) + 3\cos x$.

Vérifier, toujours. On contrôle une primitive en la dérivant : on doit retrouver la fonction de départ.

Leçon 5 : Primitives des fonctions composées

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5.1 Lire la dérivée d'une composée à l'envers

Puisque $(g\circ u)' = (g'\circ u) \times u'$, la fonction $g \circ u$ est une primitive de $(g'\circ u) \times u'$. On en tire le tableau suivant, où $u$ est dérivable sur $I$.

Méthode.

1. Repérer la fonction « intérieure » $u$ et calculer $u'$.
2. Faire apparaître exactement $u'$, quitte à multiplier et diviser par une constante.
3. Appliquer la ligne du tableau, puis vérifier en dérivant.

Exemple 18. $f(x) = x(x^2+1)^3$. Avec $u(x) = x^2+1$, $u'(x) = 2x$. Il manque un facteur $2$ : $f(x) = \frac12 \times 2x(x^2+1)^3 = \frac12 u'u^3$. Une primitive est $F(x) = \frac12 \times \frac{(x^2+1)^4}{4} = \frac{(x^2+1)^4}{8}.$

Exemple 19. $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$. Avec $u(x) = x^2+4 > 0$ et $u'(x) = 2x$ : $f = \frac12 \dfrac{u'}{\sqrt u}$. Une primitive est $F(x) = \frac12 \times 2\sqrt{x^2+4} = \sqrt{x^2+4}$.

Exemple 20. $f(x) = \dfrac{2x+1}{(x^2+x+3)^2}$. Ici $u(x) = x^2+x+3$ ne s'annule pas (discriminant $-11$) et $u' = 2x+1$ est déjà là : une primitive est $F(x) = -\dfrac{1}{x^2+x+3}$.

Exemple 21. $f(x) = \sin x\cos^2 x$. Avec $u = \cos x$, $u' = -\sin x$, donc $f = -u'u^2$. Une primitive est $F(x) = -\dfrac{\cos^3 x}{3}$.

Exemple 22. $f(x) = x\cos(x^2) = \frac12 \times 2x\cos(x^2)$. Une primitive est $F(x) = \frac12\sin(x^2)$.

Exemple 23. $f(x) = x\sqrt{x^2+1} = \frac12 \times 2x\,(x^2+1)^{\frac12}$. Une primitive est $F(x) = \frac12 \times \frac{(x^2+1)^{\frac32}}{\frac32} = \frac13(x^2+1)^{\frac32} = \frac13(x^2+1)\sqrt{x^2+1}.$

5.2 Quand il faut d'abord transformer l'écriture

Certaines fonctions ne sont dans aucun tableau. Une indication permet alors de les transformer.

Exemple 24. Avec l'indication $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$, une primitive de $\cos^2 x$ est $F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}.$

Exemple 25. Vérifier que, pour $x \neq -1$, $\dfrac{2x^2+4x+3}{(x+1)^2} = 2 + \dfrac{1}{(x+1)^2}$, puis trouver une primitive sur $]{-1};+\infty[$.

$2(x+1)^2 + 1 = 2x^2+4x+2+1 = 2x^2+4x+3$ : l'égalité est vraie. Avec $u(x) = x+1$, $u' = 1$, une primitive de $\frac{1}{(x+1)^2}$ est $-\frac{1}{x+1}$. Une primitive cherchée est donc $F(x) = 2x - \dfrac{1}{x+1}$.

Exemple 26. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ telle que $F(0) = 1$.

D'après l'exemple 19, $F(x) = \sqrt{x^2+4} + c$. La condition $F(0) = 2 + c = 1$ donne $c = -1$, donc $F(x) = \sqrt{x^2+4} - 1$.

À venir au chapitre 3 : les primitives de $\frac{u'}{u}$ (avec le logarithme) et de $u'e^u$ (avec l'exponentielle).

Leçon 6 : Points d'inflexionS2 · S4 · S2A · S5

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6.1 Définition et théorème

Définition. On dit que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $x_0$ si la courbe traverse sa tangente en ce point.

Théorème. Si $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_0$, et si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, alors le point de la courbe d'abscisse $x_0$ est un point d'inflexion.

Démonstration (cas où $f''$ passe du négatif au positif). On mesure l'écart entre la courbe et la tangente en $x_0$ : $g(x) = f(x) - \big[f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)\big].$ On a $g(x_0) = 0$, $g'(x) = f'(x) - f'(x_0)$, donc $g'(x_0) = 0$, et $g'' = f''$.

• À gauche de $x_0$, $g'' < 0$ : $g'$ est strictement décroissante, donc $g'(x) > g'(x_0) = 0$.
• À droite de $x_0$, $g'' > 0$ : $g'$ est strictement croissante, donc $g'(x) > g'(x_0) = 0$.