Centre d'inertie et moment d'inertie

Le programme S2-S4 demande de faire des « calculs de moment d'inertie et de centre d'inertie ». Les formules de physique ci-dessous sont données dans les énoncés : on demande seulement de savoir calculer les intégrales.

7.1 Masse et centre d'inertie d'une tige

Une tige fine occupe le segment $[a;b]$ de l'axe des abscisses (en mètres). Sa masse linéique au point d'abscisse $x$ est $\mu(x)$, en kilogrammes par mètre. On suppose $\mu$ continue et positive.

Formules. $M = \int_a^b \mu(x)\,dx \qquad\qquad x_G = \frac{1}{M}\int_a^b x\,\mu(x)\,dx.$

Idée. On coupe la tige en petits morceaux de longueur $h$. Le morceau situé en $x_k$ a une masse proche de $\mu(x_k)\,h$. Le centre d'inertie $G$ est le barycentre (Première) des points $x_k$ affectés de ces masses : $x_G \approx \frac{x_0\,\mu(x_0)\,h + \dots + x_{n-1}\,\mu(x_{n-1})\,h}{\mu(x_0)\,h + \dots + \mu(x_{n-1})\,h}.$ Quand $h$ devient très petit, ces sommes deviennent des intégrales.

Exemple 1 (tige homogène). Si $\mu$ est constante sur $[0;L]$, alors $M = \mu L$ et $x_G = \dfrac{1}{\mu L}\displaystyle\int_0^L \mu x\,dx = \dfrac{1}{\mu L} \times \dfrac{\mu L^2}{2} = \dfrac{L}{2}$ : le centre d'inertie est au milieu.

Exemple 2 (tige non homogène). Sur $[0;1]$, $\mu(x) = 1 + x$ (la tige est plus lourde à droite). $M = \int_0^1 (1 + x)\,dx = \frac32 \text{ kg}, \qquad \int_0^1 x(1 + x)\,dx = \frac12 + \frac13 = \frac56, \qquad x_G = \frac{5/6}{3/2} = \frac59 \approx 0{,}56 \text{ m}.$ $G$ est décalé vers l'extrémité la plus lourde, comme prévu.

7.2 Moment d'inertie d'une tige

Formule. Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe $\Delta$ perpendiculaire à la tige au point $O$ est $J_\Delta = \int_a^b x^2\,\mu(x)\,dx,$ exprimé en kg·m². Chaque petit morceau compte pour sa masse multipliée par le carré de sa distance à l'axe.

Exemple 3 (tige homogène de longueur $L$ et de masse $M$).

• Axe passant par une extrémité, tige sur $[0;L]$ : $J = \displaystyle\int_0^L \mu x^2\,dx = \frac{\mu L^3}{3} = \frac{ML^2}{3}$.
• Axe passant par le milieu, tige sur $\left[-\frac L2;\frac L2\right]$ : $J = \displaystyle\int_{-L/2}^{L/2} \mu x^2\,dx = \frac{\mu L^3}{12} = \frac{ML^2}{12}$.

Il est plus facile de faire tourner une tige autour de son milieu qu'autour d'une extrémité : son moment d'inertie y est quatre fois plus petit.

Exemple 4. Pour la tige de l'exemple 2 : $J = \displaystyle\int_0^1 x^2(1 + x)\,dx = \frac13 + \frac14 = \frac{7}{12}$ kg·m².

7.3 Centre d'inertie d'une plaque homogène

Une plaque homogène a la forme du domaine limité par la courbe d'une fonction $f$ continue et positive, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$. On note $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ son aire.

Formules. Le centre d'inertie $G$ de la plaque a pour coordonnées $x_G = \frac{1}{\mathcal{A}}\int_a^b x\,f(x)\,dx \qquad\qquad y_G = \frac{1}{2\mathcal{A}}\int_a^b f(x)^2\,dx.$

Idée. La bande verticale étroite située en $x$ a une masse proportionnelle à son aire $f(x)\,h$, et son centre est au milieu, au point $\left(x;\frac{f(x)}{2}\right)$.

Exemple 5 (vérification sur un triangle). Avec $f(x) = x$ sur $[0;1]$, la plaque est le triangle de sommets $(0;0)$, $(1;0)$ et $(1;1)$. On a $\mathcal{A} = \frac12$, puis $x_G = 2\int_0^1 x^2\,dx = \frac23 \qquad y_G = \int_0^1 x^2\,dx = \frac13.$ C'est bien le centre de gravité du triangle, isobarycentre des trois sommets : $\left(\frac{0+1+1}{3};\frac{0+0+1}{3}\right)$.

Exemple 6. Plaque sous la parabole $y = x^2$, sur $[0;1]$ : $\mathcal{A} = \dfrac13$, $\displaystyle\int_0^1 x \cdot x^2\,dx = \frac14$, $\displaystyle\int_0^1 x^4\,dx = \frac15$. Donc $x_G = 3 \times \frac14 = \frac34 \qquad y_G = \frac{3}{2} \times \frac15 = \frac{3}{10}.$