Calcul d'aires

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les aires sont d'abord exprimées en unités d'aire (u.a.).

4.1 Aire et signe de la fonction

Soit $f$ continue sur $[a;b]$, $a < b$, et $\mathcal{D}$ le domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.

Exemple 1. Soit $f(x) = x^2 - 1$ sur $[0;2]$.

L'intégrale vaut $\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^2 = \frac83 - 2 = \frac23$.

Mais $f \leq 0$ sur $[0;1]$ et $f \geq 0$ sur $[1;2]$. L'aire du domaine vaut donc $\mathcal{A} = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \frac23 + \frac43 = 2 \text{ u.a.}$ L'intégrale ($\frac23$) n'est pas l'aire ($2$) : elle compte négativement la partie située sous l'axe.

4.2 Aire entre deux courbes

Propriété. Soient $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$, $a < b$, avec $g \leq f$ sur $[a;b]$. L'aire du domaine limité par les deux courbes et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \text{ u.a.}$

Justification. Si $0 \leq g \leq f$, c'est la différence entre l'aire sous la courbe de $f$ et l'aire sous la courbe de $g$. Sinon, on ajoute une même constante $k$ aux deux fonctions pour les rendre positives : le domaine est seulement translaté vers le haut, son aire ne change pas, et $(f + k) - (g + k) = f - g$.

Méthode.

1. On cherche les abscisses des points d'intersection : $f(x) = g(x)$.
2. On étudie le signe de $f(x) - g(x)$ pour savoir quelle courbe est au-dessus.
3. On intègre « la courbe du haut moins la courbe du bas ».

Exemple 2. Aire du domaine limité par la parabole $\mathcal{P} : y = 4 - x^2$ et la droite $\mathcal{D} : y = x + 2$.

Intersections. $4 - x^2 = x + 2 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff x = 1$ ou $x = -2$.

Position. $(4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2 = -(x - 1)(x + 2)$, positif sur $[-2;1]$ : la parabole est au-dessus.

Aire. $\mathcal{A} = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \frac76 - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac92 \text{ u.a.}$

Exemple 3 (courbe et asymptote). Soit $f(x) = x + 1 + \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0;+\infty[$, dont la courbe admet la droite $\Delta : y = x + 1$ pour asymptote en $+\infty$. Aire du domaine limité par la courbe, $\Delta$ et les droites $x = 1$ et $x = e$.

$f(x) - (x + 1) = \dfrac{\ln x}{x} \geq 0$ sur $[1;e]$ : la courbe est au-dessus de $\Delta$. Forme $u'u$ avec $u = \ln x$ : $\mathcal{A} = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac12 \text{ u.a.}$

4.3 Les unités

Si le repère a pour unités $\|\overrightarrow{OI}\| = p$ cm et $\|\overrightarrow{OJ}\| = q$ cm, alors $1$ u.a. $= p \times q$ cm².

Exemple 4. Dans l'exemple 2, avec un repère d'unités $2$ cm en abscisse et $3$ cm en ordonnée, $1$ u.a. $= 6$ cm², et l'aire vaut $\dfrac92 \times 6 = 27$ cm².

À retenir. Au bac, une aire se donne toujours avec son unité : en u.a., puis en cm² si le repère est précisé.