La fonction exponentielle

3.1 Définition

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$, et c'est une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ (leçon 2).

Définition (programme officiel). La fonction exponentielle, notée $\exp$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

L'équivalence à connaître par cœur : $y = \exp(x) \text{ et } x \in \mathbb{R} \iff x = \ln y \text{ et } y > 0.$

Conséquences immédiates.

• $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\exp(x) > 0$ pour tout réel $x$.
• $\ln\big(\exp(x)\big) = x$ pour tout réel $x$, et $\exp(\ln y) = y$ pour tout $y > 0$.
• $\exp(0) = 1$, car $\ln 1 = 0$ ; et $\exp(1) = e$, car $\ln e = 1$.
• D'après le chapitre 1, $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, comme $\ln$.
• Dans un repère orthonormé, sa courbe est la symétrique de celle de $\ln$ par rapport à la droite $y = x$.

3.2 Propriétés algébriques

Théorème. Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b).$

Démonstration. $\ln\big(\exp(a)\times\exp(b)\big) = \ln\exp(a) + \ln\exp(b) = a + b = \ln\big(\exp(a+b)\big)$. Comme deux nombres strictement positifs qui ont le même logarithme sont égaux, $\exp(a)\times\exp(b) = \exp(a+b)$.

Conséquences. Pour tous réels $a$, $b$ et tout entier relatif $n$ : $\exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)} \qquad \exp(a - b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)} \qquad \exp(na) = \big(\exp(a)\big)^n.$

3.3 La notation $e^x$

Pour tout entier relatif $n$, $\exp(n) = \exp(n \times 1) = \big(\exp(1)\big)^n = e^n$. On démontrera à la leçon 5 que, plus généralement, $\exp(r) = e^r$ pour tout rationnel $r$. Cela justifie la notation suivante.

Notation. Pour tout réel $x$, on note $\exp(x) = e^x$. On lit « exponentielle de $x$ ».

Les règles de calcul ont alors la forme des règles sur les puissances :

3.4 Dérivée

Théorème. La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp' = \exp$ : $(e^x)' = e^x.$

Démonstration. $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, strictement monotone, et sa dérivée $\frac1y$ ne s'annule pas. D'après le théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque (chapitre 2), $\exp$ est dérivable et $\exp'(x) = \frac{1}{\ln'\big(\exp(x)\big)} = \frac{1}{\;\frac{1}{\exp(x)}\;} = \exp(x).$

Conséquences. Comme $e^x > 0$, on retrouve que $\exp$ est strictement croissante. En dérivant plusieurs fois : la dérivée $n$-ième de $x \mapsto e^x$ est $x \mapsto e^x$. Enfin, $x \mapsto e^x$ est une primitive d'elle-même sur $\mathbb{R}$.

3.5 Limites et courbe

Propriété. $\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.$

Justification.

• En $+\infty$ : pour tout réel $A > 0$, $e^x > A \iff x > \ln A$. Donc $e^x$ dépasse n'importe quel nombre dès que $x$ est assez grand.
• En $-\infty$ : $e^x = \dfrac{1}{e^{-x}}$, et $e^{-x} \to +\infty$ quand $x \to -\infty$. Donc $e^x \to 0$.
• En $0$ : $\dfrac{e^x - 1}{x} = \dfrac{e^x - e^0}{x - 0}$ tend vers le nombre dérivé $\exp'(0) = e^0 = 1$.

Conséquence graphique. L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de $\exp$ en $-\infty$.

Tangente en $0$. $y = e^0(x - 0) + e^0$, soit $y = x + 1$.

Propriété. Pour tout réel $x$, $e^x \geq x + 1$.

Démonstration. Soit $k(x) = e^x - x - 1$. On a $k'(x) = e^x - 1$, négatif pour $x \leq 0$ et positif pour $x \geq 0$. Donc $k$ admet un minimum en $0$, égal à $k(0) = 0$, et $k(x) \geq 0$ pour tout réel $x$.

3.6 Équations et inéquations

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^a = e^b \iff a = b$, et $e^a < e^b \iff a < b$. Pour tout réel $k > 0$ : $e^x = k \iff x = \ln k$. Si $k \leq 0$, l'équation $e^x = k$ n'a aucune solution.

Exemple 10. Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

On pose $X = e^x$, avec $X > 0$. Comme $e^{2x} = (e^x)^2$, l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$, dont les racines sont $X = 1$ et $X = 2$, toutes deux strictement positives.

• $e^x = 1 \iff x = 0$ ;
• $e^x = 2 \iff x = \ln 2$.

Donc $S = \{0\,;\ln 2\}$.

Exemple 11. Résoudre $e^{3x-1} > 2$.

$2 = e^{\ln 2}$, donc l'inéquation s'écrit $e^{3x-1} > e^{\ln 2}$, soit $3x - 1 > \ln 2$, c'est-à-dire $x > \dfrac{1 + \ln 2}{3}$. Donc $S = \left]\dfrac{1+\ln 2}{3};+\infty\right[$.