La fonction logarithme népérien

1.1 Définition

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$. Elle y admet donc des primitives (chapitre 2), et une seule d'entre elles prend la valeur $0$ en $1$.

Définition (programme officiel). La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive sur $]0;+\infty[$ de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$.

Cette définition contient trois informations :

• $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ : $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ ;
• $\ln 1 = 0$ ;
• $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

1.2 Premières conséquences

• $\ln$ est dérivable, donc continue sur $]0;+\infty[$.
• Pour $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x > 0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
• Comme $\ln 1 = 0$, on en déduit le signe de $\ln x$ :

Comparer deux logarithmes. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b \qquad\qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$

1.3 La propriété fondamentale

Théorème. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b.$

Démonstration. On fixe $a > 0$ et on pose $g(x) = \ln(ax)$ pour $x > 0$. La fonction $g$ est dérivable (composée) et $g'(x) = a \times \frac{1}{ax} = \frac1x.$ Les fonctions $g$ et $\ln$ sont donc deux primitives de $x \mapsto \frac1x$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ : il existe une constante $C$ telle que $\ln(ax) = \ln x + C$ pour tout $x > 0$. Pour $x = 1$, on obtient $\ln a = 0 + C$, donc $C = \ln a$. Ainsi $\ln(ax) = \ln x + \ln a$, et il suffit de prendre $x = b$.

Conséquences. Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

Exemple 1. Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres $\ln 72$, $\ln\frac49$ et $\ln\sqrt6$.

• $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$, donc $\ln 72 = 3\ln 2 + 2\ln 3$.
• $\ln\dfrac49 = \ln(2^2) - \ln(3^2) = 2\ln 2 - 2\ln 3$.
• $\ln\sqrt6 = \dfrac12\ln 6 = \dfrac12(\ln 2 + \ln 3)$.

Attention. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$. Et $\ln(a^2) = 2\ln a$ n'est vrai que pour $a > 0$ : pour tout $a \neq 0$, on a $\ln(a^2) = 2\ln|a|$.

1.4 Équations et inéquations

Méthode.

1. On cherche l'ensemble $D$ des réels pour lesquels tous les logarithmes de l'énoncé existent (chaque expression sous un $\ln$ doit être strictement positive).
2. Sur $D$, on transforme l'écriture avec les propriétés algébriques pour obtenir $\ln A = \ln B$ ou $\ln A < \ln B$.
3. On utilise $\ln A = \ln B \iff A = B$ et $\ln A < \ln B \iff A < B$.
4. On ne garde que les solutions qui appartiennent à $D$.

Exemple 2. Résoudre $\ln(x-1) + \ln(x+1) = \ln 3$.

Ensemble de résolution. Il faut $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$, soit $x > 1$ : $D = \,]1;+\infty[$.

Résolution. Pour $x \in D$, l'équation s'écrit $\ln\big((x-1)(x+1)\big) = \ln 3$, soit $x^2 - 1 = 3$, c'est-à-dire $x^2 = 4$. On trouve $x = 2$ ou $x = -2$.

Tri. $-2 \notin D$. Donc $S = \{2\}$.

Piège classique. Écrire d'emblée $\ln(x^2-1) = \ln 3$ ferait apparaître la « solution » $-2$, alors que $\ln(-2-1)$ n'existe pas. On cherche toujours $D$ avant de transformer.

Exemple 3. Résoudre $\ln(2x-4) \leq 0$.

Il faut $2x - 4 > 0$, soit $x > 2$. Comme $0 = \ln 1$, l'inéquation s'écrit $\ln(2x-4) \leq \ln 1$, soit $2x - 4 \leq 1$, c'est-à-dire $x \leq \frac52$. Donc $S = \left]2;\frac52\right]$.

Exemple 4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $2^n > 1000$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $2^n > 1000 \iff \ln(2^n) > \ln 1000 \iff n\ln 2 > \ln 1000 \iff n > \dfrac{\ln 1000}{\ln 2}$, car $\ln 2 > 0$. Or $\dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$. Le plus petit entier est donc $n = 10$. Vérification : $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$.