Points d'inflexion

6.1 Définition et théorème

Définition. On dit que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $x_0$ si la courbe traverse sa tangente en ce point.

Théorème. Si $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_0$, et si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, alors le point de la courbe d'abscisse $x_0$ est un point d'inflexion.

Démonstration (cas où $f''$ passe du négatif au positif). On mesure l'écart entre la courbe et la tangente en $x_0$ : $g(x) = f(x) - \big[f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)\big].$ On a $g(x_0) = 0$, $g'(x) = f'(x) - f'(x_0)$, donc $g'(x_0) = 0$, et $g'' = f''$.

• À gauche de $x_0$, $g'' < 0$ : $g'$ est strictement décroissante, donc $g'(x) > g'(x_0) = 0$.
• À droite de $x_0$, $g'' > 0$ : $g'$ est strictement croissante, donc $g'(x) > g'(x_0) = 0$.

Ainsi $g' > 0$ de part et d'autre de $x_0$ : $g$ est strictement croissante près de $x_0$, et comme $g(x_0) = 0$, $g$ est négative avant $x_0$ et positive après. La courbe passe de sous la tangente à au-dessus : elle la traverse.

Attention, la condition « en changeant de signe » est indispensable. Pour $f(x) = x^4$, $f''(x) = 12x^2$ s'annule en $0$ mais reste positive. La tangente en $0$ est l'axe des abscisses, et la courbe reste au-dessus : il n'y a pas de point d'inflexion.

Exemple 27. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

• $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6$, qui s'annule en $1$ en passant du négatif au positif.
• Le point $I(1;f(1)) = (1;0)$ est un point d'inflexion.
• Tangente en $I$ : $f'(1) = -3$, donc $T : y = -3(x-1) = -3x+3$.
• Vérification : $f(x) - (-3x+3) = x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3$, négatif avant $1$ et positif après. La courbe traverse bien $T$.

Exemple 28. Pour $\sin$, $\sin''(x) = -\sin x$ change de signe en $0$. L'origine est un point d'inflexion, et la courbe y traverse sa tangente $y = x$.

6.2 Notations différentielles

En liaison avec la physique, on écrit aussi : $f'(x) = \frac{df}{dx} \qquad\qquad f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2}.$ Pour un mobile de position $x(t)$ : la vitesse est $v = \dfrac{dx}{dt}$ et l'accélération est $a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}$.