QCM · Chapitre 2

Dérivation et primitives

17 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 12 bonnes réponses sur 17. Tentatives illimitées.

Programme de S2 Questions des séries S2, S4, S2A et S5.

17 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 17La dérivée de $x \mapsto (2x+1)^3$ est
$3(2x+1)^2$ $6(2x+1)^2$ $6x(2x+1)^2$ $2(2x+1)^3$

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Réponse B. $3 \times 2 \times (2x+1)^2$ : on n'oublie pas de multiplier par la dérivée de l'intérieur, $2$ .
Question 2 sur 17La dérivée de $x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ est
$\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$ $\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ $2x\sqrt{x^2+1}$

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Réponse C. $\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ avec $u' = 2x$ , puis on simplifie par $2$ .
Question 3 sur 17La dérivée de $x \mapsto \sin(x^2)$ est
$\cos(x^2)$ $2x\cos(x^2)$ $2\sin x\cos x$ $\cos(2x)$

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Réponse B. La réponse C est la dérivée de $\sin^2 x$ , une autre fonction.
Question 4 sur 17La dérivée de $x \mapsto \cos^2 x$ est
$-2\sin x\cos x$ $2\cos x$ $-\sin^2 x$ $2\sin x\cos x$

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Réponse A. $\cos^2 x = u^2$ avec $u = \cos x$ : $2u'u = 2(-\sin x)\cos x$ .
Question 5 sur 17 $f$ est une bijection dérivable, avec $f(2) = 5$ et $f'(2) = 4$ . Alors $(f^{-1})'(5) =$
$\frac15$ $\frac14$ $4$ $\frac12$

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Réponse B. L'antécédent de $5$ est $2$ , et $(f^{-1})'(5) = \frac{1}{f'(2)}$ .
Question 6 sur 17Sur $]0;+\infty[$ , la dérivée de $x \mapsto x^{\frac13}$ est
$\frac13 x^{-\frac23}$ $\frac13 x^{\frac23}$ $3x^{\frac23}$ $x^{-\frac23}$

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Réponse A. $(x^r)' = rx^{r-1}$ avec $r - 1 = -\frac23$ .
Question 7 sur 17 $f$ est une bijection dérivable et $f'(x_0) = 0$ . Au point d'abscisse $f(x_0)$ , la courbe de $f^{-1}$ a
une tangente horizontale une tangente verticale une tangente de pente $1$ un point d'inflexion

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Réponse B. La tangente horizontale de $\mathcal{C}_f$ devient verticale par symétrie par rapport à $y = x$ .
Question 8 sur 17Pour $f(x) = x^3 - 5x$ , $f''(x) =$
$3x^2 - 5$ $6x - 5$ $6x$ $6$

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Réponse C. $f'(x) = 3x^2-5$ , puis $f''(x) = 6x$ .
Question 9 sur 17 $f$ est continue en $0$ , dérivable sur $]0;1[$ , et $\displaystyle\lim_{x\to0^+} f'(x) = +\infty$ . Alors
$f'(0) = +\infty$ $f$ est dérivable à droite en $0$ $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ et sa courbe a une demi-tangente verticale on ne peut rien dire

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Réponse C. Le taux d'accroissement tend lui aussi vers $+\infty$ . Un nombre dérivé est toujours un réel, donc A n'a pas de sens.
Question 10 sur 17Pour tout réel $x$ , $|f'(x)| \leq 2$ , et $f(0) = 1$ . Que peut-on affirmer ?
$f(3) = 7$ $f(3) \leq 7$ $f(3) \geq 7$ $f(3) \leq 3$

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Réponse B. $|f(3) - f(0)| \leq 2 \times 3 = 6$ , donc $-5 \leq f(3) \leq 7$ .
Question 11 sur 17Laquelle est une primitive de $f(x) = 3x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$ ?
$6x$ $x^3 + x + 5$ $x^3 + 1$ $3x^3 + x$

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Réponse B. Sa dérivée est $3x^2 + 1$ . La constante $5$ ne change rien.
Question 12 sur 17La primitive de $x \mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $1$ est
$x^2$ $x^2 + 1$ $x^2 - 1$ $2$

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Réponse C. Les primitives sont $x^2 + c$ , et $1 + c = 0$ donne $c = -1$ .
Question 13 sur 17Une primitive de $x \mapsto \cos(2x)$ est
$\sin(2x)$ $2\sin(2x)$ $\frac12\sin(2x)$ $-\frac12\sin(2x)$

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Réponse C. En dérivant $\frac12\sin(2x)$ , on obtient $\frac12 \times 2\cos(2x) = \cos(2x)$ .
Question 14 sur 17Une primitive de $x \mapsto x(x^2+1)^2$ est
$\dfrac{(x^2+1)^3}{3}$ $\dfrac{(x^2+1)^3}{6}$ $\dfrac{x^2(x^2+1)^3}{6}$ $2x(x^2+1)$

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Réponse B. $x(x^2+1)^2 = \frac12 \times 2x(x^2+1)^2 = \frac12 u'u^2$ , d'où $\frac12 \times \frac{u^3}{3}$ .
Question 15 sur 17Une primitive de $x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ est
$\sqrt{x^2+1}$ $2\sqrt{x^2+1}$ $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ $\dfrac{x^2}{2\sqrt{x^2+1}}$

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Réponse A. C'est $\frac12\frac{u'}{\sqrt u}$ , de primitive $\frac12 \times 2\sqrt u$ .
Question 16 sur 17 $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $f''$ s'annule en changeant de signe en $2$ . Alors
$f$ a un extremum en $2$ la courbe de $f$ a un point d'inflexion d'abscisse $2$ $f'(2) = 0$ la courbe a une tangente verticale en $2$

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Réponse B. C'est le théorème du point d'inflexion. Un extremum correspond à $f'$ qui change de signe, pas $f''$ .
Question 17 sur 17La courbe de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 1$ a un point d'inflexion d'abscisse
$0$ $4$ $2$ $6$

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Réponse C. $f''(x) = 6x - 12$ s'annule en $2$ en changeant de signe.

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