Forme exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes

3.1 La notation $e^{i\theta}$

Notation (programme officiel). Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$ C'est le complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ : son image est le point du cercle trigonométrique associé à $\theta$.

Exemple 1. $e^{i0} = 1$, $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i$, $e^{2i\pi} = 1$, $e^{i\frac{\pi}{3}} = \dfrac12 + i\,\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Propriété fondamentale. Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ : $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}.$

Démonstration. On développe, puis on reconnaît les formules d'addition de Première : $(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta') = \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta').$

Conséquences. Pour tous réels $\theta$, $\theta'$ et tout entier $n$ : $\frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}} \qquad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')} \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}.$ Ces règles sont celles des puissances : c'est ce qui justifie la notation.

3.2 La forme exponentielle

Définition. Tout complexe non nul $z$, de module $r$ et d'argument $\theta$, s'écrit $z = r\,e^{i\theta}, \qquad r > 0.$ C'est la forme exponentielle de $z$ (notation $r\,e^{i\theta}$ du programme).

Exemple 2. $1 + i\sqrt3 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$, $-1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$, $-3 = 3e^{i\pi}$, $\sqrt3 - i = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Propriétés. Si $z = r\,e^{i\theta}$ et $z' = r'\,e^{i\theta'}$, alors, pour tout entier $n$ : $z\,z' = rr'\,e^{i(\theta + \theta')} \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')} \qquad z^n = r^n\,e^{in\theta} \qquad \overline{z} = r\,e^{-i\theta}.$ Autrement dit, les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent : $\arg(z\,z') = \arg z + \arg z' \qquad \arg\frac{z}{z'} = \arg z - \arg z' \qquad \arg(z^n) = n\arg z \qquad [2\pi].$

Exemple 3 (une formule de trigonométrie). Soit $z_1 = 1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt3 - i = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

• Forme exponentielle : $z_1 z_2 = 2\sqrt2\,e^{i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = 2\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{12}}$.
• Forme algébrique : $z_1 z_2 = (1 + i)(\sqrt3 - i) = \sqrt3 - i + i\sqrt3 - i^2 = \left(\sqrt3 + 1\right) + i\left(\sqrt3 - 1\right)$.

En identifiant les parties réelles et imaginaires de $2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$ : $\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \qquad \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.$

3.3 La formule de Moivre

Théorème (formule de Moivre). Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta), \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}.$

Démonstration. Pour $n$ entier naturel, par récurrence à partir de la propriété fondamentale : $\left(e^{i\theta}\right)^{n+1} = \left(e^{i\theta}\right)^n e^{i\theta} = e^{in\theta}e^{i\theta} = e^{i(n+1)\theta}$. Pour $n$ négatif, on passe à l'inverse.

Méthode. Pour calculer une puissance, on passe par la forme exponentielle.

Exemple 4. $(1 + i)^8 = \left(\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 e^{i\frac{8\pi}{4}} = 16\,e^{2i\pi} = 16.$

Exemple 5. Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $\left(1 + i\sqrt3\right)^n$ est-il réel ?

$\left(1 + i\sqrt3\right)^n = 2^n e^{i\frac{n\pi}{3}}$. Un complexe non nul est réel si et seulement si un de ses arguments est un multiple de $\pi$. Il faut donc $\dfrac{n\pi}{3} = k\pi$, avec $k$ entier, c'est-à-dire $n$ multiple de $3$. Par exemple $\left(1 + i\sqrt3\right)^3 = 8e^{i\pi} = -8$ et $\left(1 + i\sqrt3\right)^6 = 64$.

3.4 Racines n-ièmes de l'unité

Définition. Soit $n$ un entier, $n \geq 2$. On appelle racine $n$-ième de l'unité tout complexe $z$ tel que $z^n = 1$.

Théorème. Il y a exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité : $\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1.$

Démonstration. $z = 0$ n'est pas solution. On écrit $z = r\,e^{i\theta}$ avec $r > 0$. Alors $z^n = 1 \iff r^n e^{in\theta} = 1\,e^{i0} \iff r^n = 1 \text{ et } n\theta = 0\ [2\pi] \iff r = 1 \text{ et } \theta = \frac{2k\pi}{n},\ k \in \mathbb{Z}.$ Quand $k$ augmente de $n$, $\theta$ augmente de $2\pi$ et on retrouve le même complexe : il suffit de prendre $k = 0, 1, \dots, n - 1$, qui donnent $n$ points distincts du cercle trigonométrique.

Interprétation géométrique. Les images des racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe $1$ : deux sommets consécutifs sont séparés d'un angle $\dfrac{2\pi}{n}$.

Exemple 6 ($n = 3$). Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\dfrac12 + i\,\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $j^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\dfrac12 - i\,\dfrac{\sqrt3}{2} = \overline{j}$. Leurs images forment un triangle équilatéral. On vérifie que $1 + j + j^2 = 0$.

Exemple 7 ($n = 4$). Les racines quatrièmes de l'unité sont $1$, $i$, $-1$, $-i$ : un carré.

3.5 Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Théorème. Soit $Z = R\,e^{i\alpha}$ un complexe non nul ($R > 0$) et $n \geq 2$. L'équation $z^n = Z$ a exactement $n$ solutions : $z_k = \sqrt[n]{R}\;e^{i\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1,$ où $\sqrt[n]{R} = R^{\frac1n}$ est la racine $n$-ième du réel positif $R$ (chapitre 3).

Démonstration. Avec $z = r\,e^{i\theta}$ : $r^n e^{in\theta} = R\,e^{i\alpha} \iff r^n = R$ et $n\theta = \alpha\ [2\pi] \iff r = \sqrt[n]{R}$ et $\theta = \dfrac{\alpha}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}$.

Les images des $z_k$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{R}$. Si $z_0$ est l'une des racines, les autres s'obtiennent en multipliant $z_0$ par les racines $n$-ièmes de l'unité.

Exemple 8. Racines cubiques de $8i$. On a $8i = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$, donc $r = \sqrt[3]{8} = 2$ et $\theta = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}$ : $z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt3 + i \qquad z_1 = 2e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt3 + i \qquad z_2 = 2e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i.$ Vérification : $(-2i)^3 = -8i^3 = 8i$. Les trois points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.

Cas $n = 2$. Les deux racines carrées de $Z = R\,e^{i\alpha}$ sont $\sqrt{R}\,e^{i\frac{\alpha}{2}}$ et son opposé $-\sqrt{R}\,e^{i\frac{\alpha}{2}}$. Quand l'argument de $Z$ n'est pas un angle remarquable, on utilise la méthode algébrique de la leçon 5.