Forme algébrique et conjugué

1.1 Un peu d'histoire

Les ensembles de nombres se sont agrandis pour résoudre des équations qui n'avaient pas de solution : $x + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$, mais en a une dans $\mathbb{Z}$ ; $2x = 1$ en a une dans $\mathbb{Q}$ ; $x^2 = 2$ en a dans $\mathbb{R}$. On obtient ainsi $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$ Mais $x^2 = -1$ n'a toujours pas de solution réelle, puisqu'un carré est positif.

Au XVIe siècle, des algébristes italiens (Cardan, puis Bombelli) calculent avec des « racines carrées de nombres négatifs » pour résoudre des équations du troisième degré, sans savoir ce qu'elles représentent. Euler introduit la notation $i$ à la fin du XVIIIe siècle. Au début du XIXe siècle, Argand et Gauss représentent ces nombres par les points d'un plan : ils deviennent des outils pour la trigonométrie et la géométrie. C'est ce que ce chapitre va montrer.

1.2 Définition

Définition (existence admise). Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :

• $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ ;
• $\mathbb{C}$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ et qui suivent les mêmes règles de calcul (commutativité, associativité, distributivité) ;
• $\mathbb{C}$ contient un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ;
• tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z = a + ib$, avec $a$ et $b$ réels.

Vocabulaire.

• L'écriture $z = a + ib$ ($a$, $b$ réels) est la forme algébrique de $z$.
• $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ; $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$. Ce sont deux réels : pour $z = 2 - 3i$, $\mathrm{Im}(z) = -3$, et non $-3i$.
• $z$ est réel si $b = 0$ ; $z$ est imaginaire pur si $a = 0$. Le nombre $0$ est à la fois réel et imaginaire pur.

Égalité. Par unicité de l'écriture : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$. En particulier, $a + ib = 0 \iff a = 0$ et $b = 0$.

1.3 Calculs dans $\mathbb{C}$

On calcule comme avec des réels, en remplaçant $i^2$ par $-1$. Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ : $z + z' = (a + a') + i(b + b') \qquad z\,z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).$

Les puissances de $i$ se répètent de quatre en quatre : $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$…

Les identités remarquables restent vraies : $(a + ib)^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ et $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$.

Exemple 1. Avec $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - i$ :

• $z_1 + z_2 = 3 + 2i$ ;
• $z_1 z_2 = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$ ;
• $(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = -3 + 4i$ et $(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Produit nul. Comme dans $\mathbb{R}$, un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $z\,z' = 0 \iff z = 0$ ou $z' = 0$.

1.4 Le conjugué

Définition. Le conjugué de $z = a + ib$ est le nombre complexe $\overline{z} = a - ib$.

Propriétés immédiates. Pour $z = a + ib$ : $z + \overline{z} = 2a = 2\,\mathrm{Re}(z) \qquad z - \overline{z} = 2ib = 2i\,\mathrm{Im}(z) \qquad z\,\overline{z} = a^2 + b^2.$ Le produit $z\,\overline{z}$ est donc un réel positif, nul seulement si $z = 0$. On en déduit :

• $z$ est réel $\iff \overline{z} = z$ ;
• $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$.

Propriétés de calcul. Pour tous complexes $z$ et $z'$, et tout entier naturel $n$ : $\overline{\overline{z}} = z \qquad \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \qquad \overline{z\,z'} = \overline{z}\;\overline{z'} \qquad \overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}$ et, si $z' \neq 0$ : $\overline{\left(\frac{1}{z'}\right)} = \frac{1}{\overline{z'}} \qquad \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}.$

Démonstration pour le produit. $z\,z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$, donc $\overline{z\,z'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$. Et $\overline{z}\;\overline{z'} = (a - ib)(a' - ib') = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$ : c'est le même nombre. La propriété des puissances s'en déduit par récurrence.

1.5 Inverse et quotient

Propriété. Tout complexe $z = a + ib$ non nul a un inverse : $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\,\overline{z}} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}.$

Méthode. Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient un réel.

Exemple 2. $\dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{i \times (-i)} = \dfrac{-i}{1} = -i$.

Exemple 3. $\dfrac{3 + i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4} = \dfrac{1 + 7i}{5} = \dfrac15 + \dfrac75\,i.$

1.6 Équations du premier degré

Exemple 4. Résoudre $(1 + i)z = 3 - i$.

$z = \dfrac{3 - i}{1 + i} = \dfrac{(3 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{3 - 3i - i + i^2}{2} = \dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i.$

Exemple 5 (équation avec $\overline{z}$). Résoudre $2z + i\,\overline{z} = 3$.

On ne peut pas isoler $z$ directement. On pose $z = x + iy$, avec $x$ et $y$ réels : $\overline{z} = x - iy$ et $2z + i\,\overline{z} = 2x + 2iy + ix - i^2y = (2x + y) + i(x + 2y).$ Par identification des parties réelles et imaginaires : $2x + y = 3$ et $x + 2y = 0$. D'où $x = 2$, $y = -1$, et $z = 2 - i$.

Vérification : $2(2 - i) + i(2 + i) = 4 - 2i + 2i - 1 = 3$.