Compléments pour les séries S1, S3 et S1A

6.1 Image d'une suite par une fonction : le cas général

Théorème (admis). Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite de points de $I$. Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L$ et $\displaystyle\lim_{x\to L} f(x) = a$, où $L$ et $a$ sont finis ou non, alors $\lim_{n\to+\infty} f(u_n) = a.$

Cet énoncé, condensé pour être retenu, regroupe plusieurs cas qu'il faut savoir distinguer.

Exemple 19.

• $n\sin\dfrac1n = f\left(\dfrac1n\right)$ avec $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$. Comme $\frac1n \to 0$ et $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$ quand $x \to 0$ (Première S1), on a $\lim n\sin\frac1n = 1$.
• $n\ln\left(1 + \dfrac1n\right) = g\left(\dfrac1n\right)$ avec $g(x) = \dfrac{\ln(1+x)}{x}$, qui tend vers $1$ en $0$ (chapitre 3). Donc $\lim n\ln\left(1 + \frac1n\right) = 1$.
• On en déduit $\left(1 + \dfrac1n\right)^n = e^{n\ln\left(1 + \frac1n\right)} \to e^1 = e$, car $\exp$ est continue en $1$. La convergence est lente : $\left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2{,}7169$, alors que $e \approx 2{,}7183$.

6.2 Suites de référence

Le programme S1-S3 demande de connaître les limites des suites $(\ln n)$, $(n^\alpha)$ ($\alpha$ réel) et $(a^n)$ ($a$ réel strictement positif), et de comparer leurs comportements. Tout découle de la leçon 2 ($u_n = f(n)$) et du chapitre 3.

Pour $\alpha = 0$ ou $a = 1$, la suite est constante, égale à $1$.

Théorème (croissance comparée). Pour tout réel $\alpha > 0$, tout réel $a > 1$ et tout réel $b$ tel que $0 < b < 1$ : $\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln n}{n^\alpha} = 0 \qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{a^n}{n^\alpha} = +\infty \qquad \lim_{n\to+\infty} n^\alpha\,b^n = 0.$

Justification. Les deux premières limites sont celles des fonctions $\frac{\ln x}{x^\alpha}$ et $\frac{a^x}{x^\alpha}$ en $+\infty$ (chapitre 3, compléments S1). Pour la troisième, $n^\alpha\,b^n = \dfrac{n^\alpha}{c^n}$ avec $c = \frac1b > 1$.

La hiérarchie à retenir. En $+\infty$, pour $\alpha > 0$ et $a > 1$ : $\ln n$ est négligeable devant $n^\alpha$, qui est lui-même négligeable devant $a^n$, ce qu'on résume par $\ln n \ll n^\alpha \ll a^n$.

Exemple 20.

• $\dfrac{n^5}{2^n} \to 0$, car $\dfrac{2^n}{n^5} \to +\infty$.
• $\dfrac{(\ln n)^2}{n} = \left(\dfrac{\ln n}{\sqrt n}\right)^2 \to 0$.
• $\dfrac{2^n + n^3}{3^n} = \left(\dfrac23\right)^n + n^3\left(\dfrac13\right)^n \to 0 + 0 = 0$.

6.3 Conjecturer avec prudence

Le programme demande de conjecturer le comportement d'une suite à la calculatrice ou sur un graphique. Il faut rester prudent. La suite $u_n = \dfrac{n^{10}}{1{,}1^n}$ tend vers $0$ par croissance comparée. Pourtant $u_{100} \approx 7{,}3 \times 10^{15}$ : la suite croît jusqu'au rang $105$, et ses termes ne passent sous $1$ qu'à partir du rang $686$. Une conjecture faite sur les premiers termes aurait été fausse : seule la démonstration tranche.