Suites arithmétiques et géométriques

3.1 Suites arithmétiques (rappels)

Définition. $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$.

Exemple 11. $(u_n)$ est arithmétique, avec $u_0 = 5$ et $r = 3$. Alors $u_n = 5 + 3n$ et $u_{20} = 65$. La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ compte $21$ termes : $S = 21 \times \frac{5 + 65}{2} = 735.$

3.2 Suites géométriques (rappels)

Définition. $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q\,u_n$ pour tout $n$.

La formule de la somme vient de l'identité de Première : $\left(1 + q + \cdots + q^n\right)(1 - q) = 1 - q^{n+1}$.

Exemple 12. $(u_n)$ est géométrique, avec $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$. Comme $u_5 = u_2\,q^3$, on a $q^3 = 8$, donc $q = 2$, puis $u_0 = \dfrac{u_2}{q^2} = 3$ et $u_n = 3 \times 2^n$. La somme des dix premiers termes vaut $u_0 + u_1 + \cdots + u_9 = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1023 = 3069.$

3.3 Limite de $q^n$

Théorème. Soit $q$ un réel.

Démonstration.

• Si $q > 1$, on écrit $q = 1 + a$ avec $a > 0$. L'inégalité de Bernoulli (exemple 2) donne $q^n \geq 1 + na$. Comme $1 + na \to +\infty$, le théorème 1 donne $q^n \to +\infty$.
• Si $-1 < q < 1$ et $q \neq 0$, on a $\frac{1}{|q|} > 1$, donc $\left(\frac{1}{|q|}\right)^n \to +\infty$ et $|q^n - 0| = |q|^n = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{|q|}\right)^n} \to 0$. La conséquence du théorème 2 donne $q^n \to 0$. Le cas $q = 0$ est immédiat.
• Si $q = 1$, la suite est constante, égale à $1$.
• Si $q \leq -1$, les termes sont alternativement supérieurs ou égaux à $1$ et inférieurs ou égaux à $-1$ : la suite n'a pas de limite.

Conséquence. Si $-1 < q < 1$, alors $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ tend vers $\dfrac{1}{1-q}$.

Exemple 13.

• $(0{,}9)^n \to 0$ et $\left(-\frac12\right)^n \to 0$, tandis que $(1{,}01)^n \to +\infty$ : même une raison à peine plus grande que $1$ finit par dépasser tout nombre.
• $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 2 - \dfrac{1}{2^n}$, qui tend vers $2$.

3.4 Suites définies par $u_{n+1} = a\,u_n + b$

On suppose $a \neq 1$ (sinon la suite est arithmétique) et $a \neq 0$.

Méthode.

1. On cherche le réel $\alpha$ tel que $\alpha = a\alpha + b$, c'est-à-dire $\alpha = \dfrac{b}{1-a}$.
2. On pose $v_n = u_n - \alpha$. Alors $v_{n+1} = (a\,u_n + b) - (a\alpha + b) = a(u_n - \alpha) = a\,v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. Donc $v_n = v_0\,a^n$, puis $u_n = \alpha + (u_0 - \alpha)\,a^n$.
4. Si $-1 < a < 1$, alors $a^n \to 0$ et $\lim u_n = \alpha$.

Exemple 14 (un modèle simplifié). Un malade reçoit chaque jour, à la même heure, une injection de $4$ mg d'un médicament. En $24$ heures, son organisme élimine $20\,\%$ de la quantité présente. On note $u_n$ la quantité de médicament, en mg, présente juste après la $(n+1)$-ième injection. Ainsi $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$.

1. $\alpha = 0{,}8\,\alpha + 4 \iff 0{,}2\,\alpha = 4 \iff \alpha = 20$.
2. $v_n = u_n - 20$ définit une suite géométrique de raison $0{,}8$, avec $v_0 = 4 - 20 = -16$.
3. Donc $v_n = -16 \times 0{,}8^n$ et $u_n = 20 - 16 \times 0{,}8^n$.
4. Comme $0 < 0{,}8 < 1$, $0{,}8^n \to 0$ et $\lim u_n = 20$ : la quantité se stabilise vers $20$ mg, sans jamais l'atteindre.
5. À partir de quel rang a-t-on $u_n \geq 19$ ? $u_n \geq 19 \iff 16 \times 0{,}8^n \leq 1 \iff n\ln 0{,}8 \leq -\ln 16 \iff n \geq \dfrac{\ln 16}{-\ln 0{,}8} \approx 12{,}4$, car $\ln 0{,}8 < 0$. C'est donc à partir de $n = 13$, c'est-à-dire de la $14^{\text{e}}$ injection.