Compléments pour les séries S1, S3 et S1A

6.1 Fonctions monotones bornées

Théorème (admis). Soit $f$ croissante sur un intervalle $]a;b[$, où $b$ est réel ou $+\infty$.

• Si $f$ est majorée, alors $f$ a une limite finie en $b$ (à gauche si $b$ est réel), et cette limite est inférieure ou égale à tout majorant.
• Si $f$ n'est pas majorée, $\displaystyle\lim_{x\to b} f(x) = +\infty$.

On a les mêmes énoncés pour une fonction décroissante minorée. C'est l'analogue, pour les fonctions, du théorème sur les suites croissantes majorées.

6.2 Limite d'une composée : le cas général

Théorème (admis). Pour tout triplet $(a, b, \ell)$ de réels : si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = b$ et $\displaystyle\lim_{y\to b} g(y) = \ell$, alors $\lim_{x\to a} g\big(f(x)\big) = \ell.$ La différence avec la leçon 3 : $g$ n'a pas besoin d'être continue en $b$, ni même d'y être définie. On l'utilise de la même façon quand $a$, $b$ ou $\ell$ est infini.

Exemple 15. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{x}$.

On écrit $\dfrac{\sin(2x)}{x} = 2 \times \dfrac{\sin(2x)}{2x}$. On pose $f(x) = 2x$, qui tend vers $0$ quand $x \to 0$, et $g(y) = \dfrac{\sin y}{y}$, qui tend vers $1$ quand $y \to 0$ (limite admise en Première S1). Donc $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$, et $\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2.$

6.3 Raccordement de fonctions

Une fonction peut être définie par des expressions différentes de part et d'autre d'un point $a$. Elle est continue en $a$ si et seulement si la limite à gauche, la limite à droite et $f(a)$ sont égales.

Exemple 16. Soit $m$ un réel et $f(x) = x^2 + m$ si $x \leq 1$, $f(x) = \sqrt{x+3}$ si $x > 1$. Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?

• Limite à gauche et valeur : $f(1) = 1 + m$, et $\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x) = 1+m$.
• Limite à droite : $\displaystyle\lim_{x\to1^+} \sqrt{x+3} = \sqrt4 = 2$.

$f$ est continue en $1$ si et seulement si $1 + m = 2$, c'est-à-dire $m = 1$.

6.4 Image d'un segment

Théorème (admis). L'image d'un intervalle fermé borné $[a;b]$ (un segment) par une fonction continue sur $[a;b]$ est un segment $[m;M]$.

Conséquence : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint son minimum $m$ et son maximum $M$. Ce n'est plus vrai sur un intervalle ouvert : $x \mapsto \frac1x$ est continue sur $]0;1]$, mais elle n'est pas majorée.

6.5 Démontrer qu'une fonction est une bijection de $I$ sur $J$

Deux méthodes :

1. Par le théorème de la bijection (leçon 5) : $f$ continue, strictement monotone sur $I$, et $f(I) = J$.
2. Par la définition : on montre que, pour tout $y \in J$, l'équation $f(x) = y$ a une unique solution $x$ dans $I$. C'est la méthode de l'exemple 13, qui donne en plus l'expression de $f^{-1}$.

6.6 Fonctions définies par une équation fonctionnelle

On connaît parfois une fonction non par sa formule, mais par une propriété qu'elle vérifie. La continuité et le théorème des valeurs intermédiaires permettent alors de la déterminer.

Exemple 17. Déterminer les fonctions $f$ continues sur $\mathbb{R}$ telles que, pour tout réel $x$, $\big(f(x)\big)^2 = 1$.

Pour tout $x$, $f(x) = 1$ ou $f(x) = -1$. Supposons que $f$ prenne les deux valeurs, en $x_1$ et en $x_2$. Comme $f$ est continue, le théorème des valeurs intermédiaires dit qu'elle prend la valeur $0$ entre $x_1$ et $x_2$. Or $0^2 \neq 1$ : c'est impossible.

Donc $f$ ne prend qu'une seule valeur. Les solutions sont les deux fonctions constantes $x \mapsto 1$ et $x \mapsto -1$.

Idée à retenir. Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule jamais garde un signe constant.