Devoir sur 20 : Limites et continuité

Exercice 1

1.a (1 pt) C'est le quotient des termes de plus haut degré : $\frac{5x^3}{2x^3} = \frac52$.

1.b (1 pt) $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, donc pour $x \neq -1$ l'expression vaut $x - 1$, qui tend vers $-2$.

1.c (1 pt) On utilise l'expression conjuguée : $\sqrt{x^2+4} - x = \frac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $0$.

1.d (1 pt) $2 \leq 3 + \cos x \leq 4$, donc $\frac{2}{x^2} \leq \frac{3+\cos x}{x^2} \leq \frac{4}{x^2}$. Par le théorème des gendarmes, la limite vaut $0$.

2. (2 pts)

• (1 pt) $u(x)$ tend vers $\frac{6x}{2x} = 3$.
• (1 pt) La racine carrée est continue en $3$, donc $\sqrt{u(x)} \to \sqrt3$.

Exercice 2

1. (1 pt) On réduit au même dénominateur : $(x+1) + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)^2+1}{x+1} = \frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

2. (2 pts)

• (1 pt) Quand $x \to -1^+$, $x+1 \to 0^+$, donc $\frac{1}{x+1} \to +\infty$, et $f(x) \to +\infty$. La droite $x = -1$ est asymptote verticale.
• (1 pt) En $+\infty$, $x + 1 \to +\infty$ et $\frac{1}{x+1} \to 0$, donc $f(x) \to +\infty$.

3. (2 pts)

• (1 pt) $f(x) - (x+1) = \frac{1}{x+1} \to 0$ en $+\infty$ : $\Delta$ est asymptote oblique.
• (1 pt) Sur $I$, $\frac{1}{x+1} > 0$ : $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\Delta$.

4. (3 pts)

• (1,5 pt) La dérivée : $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
• (0,5 pt) Le signe : sur $I$, $x + 2 > 0$ et $(x+1)^2 > 0$, donc $f'(x)$ a le signe de $x$.
• (1 pt) Le tableau : $f$ est décroissante sur $]-1;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$, avec un minimum $f(0) = 2$. On reporte les limites $+\infty$ aux deux bornes.

5.a (2 pts)

• (1 pt) $g$ est continue, car rationnelle, et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, car $f'(x) > 0$ pour $x > 0$.
• (1 pt) $g(0) = 2$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} g = +\infty$, donc $g$ est une bijection de $[0;+\infty[$ sur $J = [2;+\infty[$.

5.b (2 pts)

• (1 pt) $3 \in J$ et $g$ est une bijection, donc l'équation $g(x) = 3$ a une unique solution $\alpha$.
• (1 pt) À la calculatrice, $g(1{,}6) \approx 2{,}985 < 3$ et $g(1{,}7) \approx 3{,}070 > 3$. Comme $g$ est croissante, $1{,}6 < \alpha < 1{,}7$.

5.c (2 pts)

• (1 pt) Avec $t = x + 1$, où $t \geq 1$, l'équation devient $t + \frac1t = 3$, soit $t^2 - 3t + 1 = 0$. Son discriminant vaut $\Delta = 5$, et ses racines sont $t = \frac{3 \pm \sqrt5}{2}$.
• (1 pt) La racine $\frac{3-\sqrt5}{2} \approx 0{,}38$ est inférieure à $1$, elle est donc exclue. Il reste $t = \frac{3+\sqrt5}{2}$, d'où $\alpha = t - 1 = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618$. C'est cohérent avec l'encadrement de la question 5.b.

Pour la culture : $\frac{1+\sqrt5}{2}$ est le nombre d'or.