Encadrements et valeurs approchées

6.1 Encadrer une intégrale

Quand on ne sait pas calculer une intégrale, on l'encadre. Deux outils :

• l'inégalité de la moyenne : on encadre $f$ par deux constantes $m$ et $M$, souvent grâce à son sens de variation ;
• la comparaison : on encadre $f$ par deux fonctions dont on sait calculer l'intégrale, puis on intègre l'encadrement (bornes dans l'ordre croissant).

C'est ce qu'on a fait pour $I = \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ à la leçon 2 : $1 - \dfrac1e \leq I \leq 1$.

6.2 Encadrer une fonction à l'aide d'intégrales

On peut aussi obtenir l'encadrement d'une fonction en intégrant un encadrement plus simple.

Exemple 1. Pour tout $t \geq 0$ : $1 - t \leq \dfrac{1}{1+t} \leq 1$.

Justification. $\dfrac{1}{1+t} \leq 1$ car $1 + t \geq 1$. Et $(1 - t)(1 + t) = 1 - t^2 \leq 1$, d'où $1 - t \leq \dfrac{1}{1+t}$ en divisant par $1 + t > 0$.

Soit $x \geq 0$. On intègre entre $0$ et $x$ (bornes dans l'ordre croissant) : $\int_0^x (1 - t)\,dt \leq \int_0^x \frac{dt}{1+t} \leq \int_0^x 1\,dt, \quad\text{soit}\quad x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1 + x) \leq x.$ Pour $x = 0{,}1$ : $0{,}095 \leq \ln(1{,}1) \leq 0{,}1$. La calculatrice donne $\ln(1{,}1) \approx 0{,}0953$.

6.3 Valeurs approchées d'une intégrale

Certaines fonctions continues, comme $x \mapsto e^{-x^2}$, n'ont pas de primitive qu'on sache écrire avec les fonctions connues. On calcule alors une valeur approchée de l'intégrale en remplaçant l'aire sous la courbe par des aires simples.

S1 · S3 · S1A Les méthodes des rectangles, des trapèzes et des tangentes sont au programme S1-S3.

Notations. On partage $[a;b]$ en $n$ intervalles de même longueur $h = \dfrac{b - a}{n}$, aux points $x_k = a + kh$ pour $k = 0, 1, \dots, n$. On a $x_0 = a$ et $x_n = b$.

Méthode des rectangles. Sur chaque intervalle $[x_k;x_{k+1}]$, on remplace $f$ par sa valeur au bord gauche (ou au bord droit) : $R_n = h\big[f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})\big] \qquad R'_n = h\big[f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)\big].$ Si $f$ est monotone sur $[a;b]$, l'intégrale est comprise entre $R_n$ et $R'_n$ : sur chaque petit intervalle, $f$ est comprise entre ses valeurs aux deux bords, et l'inégalité de la moyenne puis la relation de Chasles donnent le résultat. L'écart entre les deux vaut $R_n - R'_n = h\,\big(f(a) - f(b)\big)$.

Méthode des trapèzes. On remplace chaque arc de courbe par sa corde. Le trapèze construit sur $[x_k;x_{k+1}]$ a pour aire $h \times \dfrac{f(x_k) + f(x_{k+1})}{2}$. En additionnant : $T_n = h\left[\frac{f(x_0) + f(x_n)}{2} + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})\right] = \frac{R_n + R'_n}{2}.$

Méthode des tangentes. On remplace chaque arc de courbe par la tangente au point d'abscisse $m_k = x_k + \dfrac{h}{2}$, milieu de $[x_k;x_{k+1}]$. Sous cette tangente, on obtient un trapèze dont la hauteur au milieu vaut $f(m_k)$ : son aire est $h \times f(m_k)$. En additionnant : $M_n = h\big[f(m_0) + f(m_1) + \dots + f(m_{n-1})\big].$

Exemple 2. Valeurs approchées de $\ln 2 = \displaystyle\int_1^2 \frac{dx}{x}$ avec $n = 4$, donc $h = 0{,}25$.

$x$	$1$	$1{,}25$	$1{,}5$	$1{,}75$	$2$
$\frac1x$	$1$	$0{,}8$	$0{,}6667$	$0{,}5714$	$0{,}5$

• Rectangles : $R_4 = 0{,}25 \times (1 + 0{,}8 + 0{,}6667 + 0{,}5714) \approx 0{,}7595$ et $R'_4 \approx 0{,}6345$. Comme $\frac1x$ est décroissante, $0{,}6345 \leq \ln 2 \leq 0{,}7595$.
• Trapèzes : $T_4 = \dfrac{R_4 + R'_4}{2} \approx 0{,}6970$.
• Tangentes : aux milieux $1{,}125$ ; $1{,}375$ ; $1{,}625$ ; $1{,}875$, on trouve $M_4 = 0{,}25 \times \left(\frac{1}{1{,}125} + \frac{1}{1{,}375} + \frac{1}{1{,}625} + \frac{1}{1{,}875}\right) \approx 0{,}6912$.

La valeur exacte est $\ln 2 \approx 0{,}6931$. Les trapèzes et les tangentes sont bien plus précis que les rectangles.

Encadrement par les trapèzes et les tangentes. Sur $[1;2]$, la courbe de $x \mapsto \frac1x$ est au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes. En effet, pour $x > 0$ :

• la tangente au point d'abscisse $m > 0$ a pour équation $y = \dfrac{2}{m} - \dfrac{x}{m^2}$, et $\dfrac1x - \left(\dfrac2m - \dfrac{x}{m^2}\right) = \dfrac{(x - m)^2}{x\,m^2} \geq 0$ ;
• la corde entre les points d'abscisses $p$ et $q$ ($0 < p < q$) a pour équation $y = \dfrac{p + q - x}{pq}$, et $\dfrac1x - \dfrac{p + q - x}{pq} = \dfrac{(x - p)(x - q)}{pq\,x} \leq 0$ pour $x \in [p;q]$.

En intégrant ces inégalités sur chaque petit intervalle, on obtient $M_4 \leq \ln 2 \leq T_4$, soit $0{,}691 \leq \ln 2 \leq 0{,}698$.