Calcul intégral

1. Question 1 sur 18$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx =$

   A $\dfrac13$ B $\dfrac12$ C $1$ D $2$

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   Réponse A. $\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ . La réponse D confond avec la dérivée $2x$ évaluée en $1$ .

2. Question 2 sur 18$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx =$

   A $e$ B $0$ C $1$ D $e - 1$

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   Réponse C. $\Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$ .

3. Question 3 sur 18$\displaystyle\int_3^1 2\,dx =$

   A $4$ B $-4$ C $2$ D $-2$

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   Réponse B. $\Big[2x\Big]_3^1 = 2 - 6 = -4$ : on calcule toujours « borne du haut moins borne du bas », même si elle est plus petite.

4. Question 4 sur 18Pour $x \geq 1$ , on pose $F(x) = \displaystyle\int_1^x \sqrt{1 + t^2}\,dt$ . Alors $F'(x) =$

   A $\sqrt{1 + x^2}$ B $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ C $\sqrt{1 + x^2} - \sqrt2$ D $0$

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   Réponse A. $F$ est la primitive de $t \mapsto \sqrt{1+t^2}$ qui s'annule en $1$ , donc sa dérivée est $\sqrt{1+x^2}$ .

5. Question 5 sur 18$f$ est positive sur $[0;2]$ et $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 3$ . Le repère est orthonormé, d'unité $2$ cm. L'aire du domaine sous la courbe, entre $x = 0$ et $x = 2$ , vaut

   A $3$ cm² B $6$ cm² C $12$ cm² D $1{,}5$ cm²

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   Réponse C. $1$ u.a. $= 2 \times 2 = 4$ cm², donc $3$ u.a. $= 12$ cm².

6. Question 6 sur 18$\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 2$ et $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = -5$ . Alors $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx =$

   A $7$ B $-3$ C $3$ D $-7$

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   Réponse B. Relation de Chasles : $2 + (-5) = -3$ .

7. Question 7 sur 18$\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 4$ . Alors $\displaystyle\int_0^2 \big(3f(x) + 1\big)\,dx =$

   A $13$ B $14$ C $12$ D $15$

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   Réponse B. Linéarité : $3 \times 4 + \displaystyle\int_0^2 1\,dx = 12 + 2 = 14$ . La réponse A oublie que l'intégrale de $1$ sur $[0;2]$ vaut $2$ .

8. Question 8 sur 18Si $1 \leq f(x) \leq 3$ pour tout $x$ de $[2;5]$ , alors $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx$ est compris entre

   A $1$ et $3$ B $2$ et $5$ C $3$ et $9$ D $6$ et $15$

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   Réponse C. Inégalité de la moyenne : $1 \times (5 - 2) \leq \displaystyle\int_2^5 f \leq 3 \times (5 - 2)$ .

9. Question 9 sur 18Sans calcul, $\displaystyle\int_1^0 e^x\,dx$ est

   A positive B négative C nulle D impossible à déterminer

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   Réponse B. $e^x > 0$ , mais les bornes sont dans l'ordre décroissant : $\displaystyle\int_1^0 e^x\,dx = -\int_0^1 e^x\,dx < 0$ .

10. Question 10 sur 18$\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx =$

    A $e$ B $e - 1$ C $2e - 2$ D $1$

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    Réponse B. Forme $u'e^u$ avec $u = x^2$ : $\Big[e^{x^2}\Big]_0^1 = e - 1$ .

11. Question 11 sur 18Pour calculer $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx$ par intégration par parties, le bon choix est

    A $u = x$ , $v' = e^{2x}$ B $u = e^{2x}$ , $v' = x$ C $u = x\,e^{2x}$ , $v' = 1$ D aucun, l'intégration par parties est impossible

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    Réponse A. On dérive le polynôme $x$ , qui se simplifie en $1$ . Le choix B fait apparaître $x^2$ : le calcul se complique.

12. Question 12 sur 18$\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx =$

    A $0$ B $2$ C $-2$ D $\pi$

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    Réponse C. Avec $u = x$ et $v' = \cos x$ : $\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 0 - 2 = -2$ .

13. Question 13 sur 18L'aire du domaine limité par la courbe de $x \mapsto x^2 - 1$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 1$ vaut

    A $\dfrac23$ u.a. B $-\dfrac23$ u.a. C $\dfrac13$ u.a. D $\dfrac43$ u.a.

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    Réponse A. Sur $[0;1]$ , $x^2 - 1 \leq 0$ et $\displaystyle\int_0^1 (x^2 - 1)\,dx = -\frac23$ . Une aire est positive : elle vaut $\frac23$ u.a. La réponse B est l'intégrale, pas l'aire.

14. Question 14 sur 18La courbe de $x \mapsto \sqrt x$ sur $[0;2]$ tourne autour de l'axe des abscisses. Le volume du solide obtenu vaut

    A $2\pi$ u.v. B $2$ u.v. C $4\pi$ u.v. D $\pi\sqrt2$ u.v.

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    Réponse A. $V = \pi\displaystyle\int_0^2 \left(\sqrt x\right)^2 dx = \pi\int_0^2 x\,dx = 2\pi$ .

15. Question 15 sur 18Pour $t \geq 0$ , on a $1 - t \leq \dfrac{1}{1+t} \leq 1$ . En intégrant entre $0$ et $x \geq 0$ , on obtient

    A $x - \dfrac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x$ B $1 - x \leq \ln(1+x) \leq 1$ C $x - x^2 \leq \ln(1+x) \leq x$ D $-1 \leq \ln(1+x) \leq 0$

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    Réponse A. $\displaystyle\int_0^x (1 - t)\,dt = x - \frac{x^2}{2}$ , $\displaystyle\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \ln(1+x)$ et $\displaystyle\int_0^x 1\,dt = x$ .

16. Question 16 sur 18La valeur moyenne de $x \mapsto 2x + 1$ sur $[0;4]$ vaut

    A $5$ B $20$ C $9$ D $4{,}5$

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    Réponse A. $\dfrac14\displaystyle\int_0^4 (2x+1)\,dx = \frac14\Big[x^2 + x\Big]_0^4 = \frac{20}{4} = 5$ . La réponse B oublie de diviser par la longueur de l'intervalle.

17. Question 17 sur 18$\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\cos x\,dx =$

    A $0$ B $2$ C $-2$ D $16\cos 2$

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    Réponse A. La fonction $x \mapsto x^3\cos x$ est impaire et l'intervalle est symétrique par rapport à $0$ .

18. Question 18 sur 18Pour $f$ continue sur $[0;2]$ , le changement de variable $u = 2t$ donne $\displaystyle\int_0^1 f(2t)\,dt =$

    A $\displaystyle\int_0^2 f(u)\,du$ B $\dfrac12\displaystyle\int_0^2 f(u)\,du$ C $2\displaystyle\int_0^1 f(u)\,du$ D $\dfrac12\displaystyle\int_0^1 f(u)\,du$

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    Réponse B. $du = 2\,dt$ , donc $dt = \frac{du}{2}$ , et quand $t$ va de $0$ à $1$ , $u$ va de $0$ à $2$ . La réponse D oublie de changer les bornes.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.