Exponentielle, composées, croissances comparées et primitives

4.1 Dérivée de $e^u$

Propriété. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u}.$

Exemples. $\left(e^{x^2}\right)' = 2x\,e^{x^2}$ ; $\quad \left(e^{-3x}\right)' = -3e^{-3x}$ ; $\quad$ pour tout réel $a$, $\left(e^{ax}\right)' = a\,e^{ax}$.

Dérivées successives. En dérivant $n$ fois, la dérivée $n$-ième de $x \mapsto e^{ax}$ est $x \mapsto a^n e^{ax}$.

4.2 Primitives de $u'e^u$

Propriété. Si $u$ est dérivable sur $I$, de dérivée continue, les primitives de $u'e^u$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto e^{u(x)} + C$, $C \in \mathbb{R}$.

En particulier, pour $a \neq 0$, une primitive de $x \mapsto e^{ax+b}$ est $x \mapsto \dfrac1a\,e^{ax+b}$.

Exemple 12. Une primitive de $f(x) = x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

Avec $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$, donc $f = \dfrac12\,u'e^u$. Une primitive est $F(x) = \dfrac12\,e^{x^2}$.

De même, une primitive de $x \mapsto e^{2x+1}$ est $x \mapsto \dfrac12\,e^{2x+1}$.

4.3 Croissances comparées

Théorème. Pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0.$

À retenir. À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.

Démonstrations.

• On a vu que $\ln t < 2\sqrt t$ pour tout $t > 0$ (leçon 2). Avec $t = e^x$ : $x < 2\sqrt{e^x} = 2e^{x/2}$. Pour $x > 0$, en élevant au carré deux nombres positifs, $x^2 < 4e^x$, donc $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{4}$. Comme $\frac x4 \to +\infty$, on obtient $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ (théorème de minoration).
• $\dfrac{e^x}{x^n} = \left(\dfrac{e^{x/n}}{x}\right)^n = \dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^{X}}{X}\right)^n$ avec $X = \frac xn \to +\infty$. Donc $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$, puis $x^n e^{-x} = \dfrac{1}{e^x/x^n} \to 0$.
• En $-\infty$, on pose $X = -x \to +\infty$ : $x\,e^x = -X e^{-X} = -\dfrac{X}{e^X} \to 0$, et de même $x^n e^x = (-1)^n X^n e^{-X} \to 0$.

Exemple 13. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (e^x - x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x^2+1)\,e^{-x}$.

• Forme $\infty - \infty$. On factorise par $x$ : $e^x - x = x\left(\dfrac{e^x}{x} - 1\right)$. La parenthèse tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $+\infty$.
• $(x^2+1)e^{-x} = x^2e^{-x} + e^{-x}$. Les deux termes tendent vers $0$, donc la limite vaut $0$.

4.4 Exemple d'étude

Exemple 14. Étudier $f(x) = x\,e^x$ sur $\mathbb{R}$.

Limites. En $-\infty$ : $x\,e^x \to 0$ (croissance comparée). L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$. En $+\infty$ : $x \to +\infty$ et $e^x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$.

Dérivée. $f'(x) = 1 \times e^x + x\,e^x = (x+1)\,e^x$, du signe de $x + 1$ puisque $e^x > 0$.

Variations. $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$ et croissante sur $[-1;+\infty[$. Son minimum est $f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac1e \approx -0{,}37$.

Branche infinie en $+\infty$. $\dfrac{f(x)}{x} = e^x \to +\infty$ : branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$.