Transformations et similitudes directes

7.1 Écriture complexe d'une transformation

Une transformation $f$ du plan associe à tout point $M$ un point $M' = f(M)$. Si $M$ a pour affixe $z$ et $M'$ pour affixe $z'$, une relation qui donne $z'$ en fonction de $z$ est l'écriture complexe de $f$.

Translation. La translation de vecteur $\vec w$ d'affixe $b$ : $\overrightarrow{MM'} = \vec w \iff z' - z = b$, soit $z' = z + b.$

Homothétie. L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ (réel non nul) : $\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}$, soit $z' - \omega = k(z - \omega).$

Rotation. La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : pour $M \neq \Omega$, $\Omega M' = \Omega M$ et $\big(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}\big) = \theta\ [2\pi]$, c'est-à-dire $\left|\dfrac{z' - \omega}{z - \omega}\right| = 1$ et $\arg\dfrac{z' - \omega}{z - \omega} = \theta\ [2\pi]$, donc $\dfrac{z' - \omega}{z - \omega} = e^{i\theta}$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega).$ Cette égalité reste vraie pour $M = \Omega$. Avec $\Omega = O$ : $z' = e^{i\theta}z$.

Exemple 1. $z' = iz$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, car $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$. $z' = -z$ est la symétrie de centre $O$ (rotation d'angle $\pi$, ou homothétie de rapport $-1$).

Exemple 2. La rotation de centre $\Omega(1 + i)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ a pour écriture $z' - (1 + i) = i\big(z - (1 + i)\big)$, soit $z' = iz + 2$. L'image du point $A(3 + i)$ est le point d'affixe $i(3 + i) + 2 = 1 + 3i$.

7.2 Similitudes directes

Définition (programme S2-S4 : « applications du type $M(z) \mapsto M'(az + b)$ avec $a \neq 0$ »). On appelle similitude directe toute transformation du plan dont l'écriture complexe est $z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C},\ a \neq 0,\ b \in \mathbb{C}.$ Les translations ($z' = z + b$), les homothéties et les rotations sont des similitudes directes.

Théorème (éléments caractéristiques). Soit $s$ la similitude directe d'écriture $z' = az + b$.

• Si $a = 1$, $s$ est la translation de vecteur d'affixe $b$.
• Si $a \neq 1$, $s$ a un unique point invariant, le centre $\Omega$, d'affixe $\omega = \frac{b}{1 - a},$ et l'écriture complexe devient $z' - \omega = a(z - \omega)$. En écrivant $a = k\,e^{i\theta}$, avec $k = |a| > 0$ et $\theta = \arg a$ :
  • $k$ est le rapport de $s$, $\theta$ est son angle ;
  • $s$ est la composée de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ et de l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$, dans un ordre ou dans l'autre ;
  • pour tout point $M \neq \Omega$ : $\Omega M' = k\,\Omega M$ et $\big(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}\big) = \theta\ [2\pi]$.

Démonstration. Un point $\Omega(\omega)$ est invariant si et seulement si $\omega = a\omega + b$, soit $\omega(1 - a) = b$ : si $a \neq 1$, il y a une seule solution. En soustrayant $\omega = a\omega + b$ à $z' = az + b$, on obtient $z' - \omega = a(z - \omega)$. Si $h$ est l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$, et $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$, alors $r$ transforme $z$ en $\omega + e^{i\theta}(z - \omega)$, puis $h$ transforme ce point en $\omega + k\,e^{i\theta}(z - \omega) = \omega + a(z - \omega)$ : c'est $s$. L'ordre inverse donne le même résultat. Enfin $|z' - \omega| = |a|\,|z - \omega|$ et $\arg\dfrac{z' - \omega}{z - \omega} = \arg a$.

Cas particuliers. Pour $a \neq 1$ : si $|a| = 1$, $s$ est une rotation ; si $a$ est réel, $s$ est une homothétie de rapport $a$ (rapport négatif si $a < 0$ : son « angle » est alors $\pi$).

Exemple 3. $s : z' = (1 + i)z + 2 - i$.

• $a = 1 + i \neq 1$. Centre : $\omega = \dfrac{2 - i}{1 - (1 + i)} = \dfrac{2 - i}{-i} = \dfrac{(2 - i)\,i}{-i \times i} = 2i + 1$, donc $\Omega(1 + 2i)$.
• $a = 1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ : le rapport vaut $\sqrt2$ et l'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

$s$ est la similitude directe de centre $\Omega(1 + 2i)$, de rapport $\sqrt2$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

Exemple 4. $z' = -2z + 3$ : $a = -2$ est réel, $s$ est l'homothétie de centre $\omega = \dfrac{3}{1 + 2} = 1$ et de rapport $-2$. Et $z' = iz + 1 + i$ : $|i| = 1$, c'est la rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de centre $\omega = \dfrac{1 + i}{1 - i} = i$.

7.3 Propriétés géométriques

Soit $s$ une similitude directe $z' = az + b$, de rapport $k = |a|$ et d'angle $\theta = \arg a$. Pour deux points $M$ et $N$ d'images $M'$ et $N'$ : $z_{N'} - z_{M'} = (az_N + b) - (az_M + b) = a(z_N - z_M).$ Donc :

• $M'N' = k\,MN$ : une similitude directe multiplie les distances par son rapport $k$ ;
• si $M \neq N$, $\big(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{M'N'}\big) = \theta\ [2\pi]$ : tout vecteur tourne du même angle ;
• les quotients $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ sont conservés, car le facteur $a$ se simplifie : une similitude directe conserve les angles orientés, l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité ;
• l'image d'un segment est un segment, l'image d'un cercle de centre $C$ et de rayon $R$ est le cercle de centre $C' = s(C)$ et de rayon $kR$.

7.4 Déterminer une similitude

Propriété. Soit $A$, $B$ deux points distincts et $A'$, $B'$ deux points distincts. Il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$. Son écriture $z' = az + b$ s'obtient en résolvant le système $\begin{cases} a\,z_A + b = z_{A'} \\ a\,z_B + b = z_{B'} \end{cases} \qquad\text{d'où}\qquad a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A} \quad\text{et}\quad b = z_{A'} - a\,z_A.$

Exemple 5. $A(1)$, $B(i)$, $A'(1 + i)$, $B'(-1 - i)$. $a = \frac{(-1 - i) - (1 + i)}{i - 1} = \frac{-2 - 2i}{-1 + i} = \frac{(-2 - 2i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{4i}{2} = 2i \qquad b = (1 + i) - 2i = 1 - i.$ Donc $s : z' = 2iz + 1 - i$. Comme $2i = 2e^{i\frac{\pi}{2}}$, $s$ a pour rapport $2$ et pour angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; son centre a pour affixe $\omega = \dfrac{1 - i}{1 - 2i} = \dfrac{3 + i}{5}$.