Le plan complexe, module et argument

2.1 Représentation géométrique

À tout nombre complexe $z = a + ib$, on associe le point $M(a\,;b)$ et le vecteur $\vec w(a\,;b)$.

• $M$ est l'image du complexe $z$, et $z$ est l'affixe du point $M$ ; on écrit $M(z)$.
• $z$ est aussi l'affixe du vecteur $\vec w$.
• L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées l'axe imaginaire. Le plan muni de cette correspondance s'appelle le plan complexe.

Propriétés. Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ :

• le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$ ;
• le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$ ;
• si $\vec w$ et \vec w\,' ont pour affixes $z$ et $z'$, alors \vec w + \vec w\,' a pour affixe $z + z'$, et $k\vec w$ a pour affixe $kz$ pour tout réel $k$.

Symétries. L'image de $\overline{z}$ est la symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe réel ; l'image de $-z$ est la symétrique de $M$ par rapport à $O$.

Exemple 1. $A(1 + i)$ et $B(4 + 5i)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A = 3 + 4i$, et le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{5 + 6i}{2} = \dfrac52 + 3i$.

2.2 Le module

Définition. Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\,\overline{z}}.$ Si $M$ est l'image de $z$, alors $|z| = OM$ : le module est une distance.

Conséquence. Pour deux points $A$ et $B$ : $AB = |z_B - z_A|.$

Exemple 2. $|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $|1 - i| = \sqrt2$, $|-2i| = 2$. Pour un réel $x$, le module est la valeur absolue : $|-3| = 3$. Avec les points de l'exemple 1, $AB = |3 + 4i| = 5$.

Propriétés. Pour tous complexes $z$ et $z'$, et tout entier naturel $n$ :

• $|z| = 0 \iff z = 0$ ;
• $|\overline{z}| = |z|$ et $|-z| = |z|$ ;
• $|z\,z'| = |z|\,|z'|$ et $|z^n| = |z|^n$ ;
• si $z' \neq 0$ : $\left|\dfrac{1}{z'}\right| = \dfrac{1}{|z'|}$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.

Démonstration pour le produit. $|z\,z'|^2 = z\,z'\;\overline{z\,z'} = z\,\overline{z}\;z'\,\overline{z'} = |z|^2|z'|^2$, et les modules sont positifs.

Attention. En général $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ : par exemple $|1 + i| = \sqrt2$, alors que $|1| + |i| = 2$.

Exemple 3. $\left|\dfrac{(1 + i)^4}{3 - 4i}\right| = \dfrac{|1 + i|^4}{|3 - 4i|} = \dfrac{\left(\sqrt2\right)^4}{5} = \dfrac45$, sans développer.

S1 · S3 · S1A Inégalité triangulaire. Pour tous complexes $z$ et $z'$ : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$. Démonstration : $|z + z'|^2 = (z + z')(\overline{z} + \overline{z'}) = |z|^2 + |z'|^2 + z\,\overline{z'} + \overline{z}\,z' = |z|^2 + |z'|^2 + 2\,\mathrm{Re}\big(z\,\overline{z'}\big)$. Or la partie réelle d'un complexe est inférieure à son module, et $\left|z\,\overline{z'}\right| = |z|\,|z'|$. Donc $|z + z'|^2 \leq \big(|z| + |z'|\big)^2$. Géométriquement, avec $A(z)$ et $B(z + z')$ : $OB \leq OA + AB$.

2.3 L'argument

Définition. Soit $z$ un complexe non nul, d'image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure, en radians, de l'angle orienté $\big(\vec u, \overrightarrow{OM}\big)$. On note $\arg z$.

Un complexe non nul a une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de $2\pi$ : on écrit $\arg z = \theta\ [2\pi]$, et on lit « modulo deux pi ». L'unique argument situé dans $]-\pi\,;\pi]$ est l'argument principal. Le nombre $0$ n'a pas d'argument.

Exemple 4. $\arg 3 = 0$, $\arg(-2) = \pi$, $\arg i = \dfrac{\pi}{2}$, $\arg(-5i) = -\dfrac{\pi}{2}$ (à $2\pi$ près). Le point d'affixe $1 + i$ est sur la bissectrice du premier quadrant : $\arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.

Lien avec la forme algébrique. Si $z = a + ib$ a pour module $r$ et pour argument $\theta$, alors (cercle trigonométrique de rayon $r$) : $a = r\cos\theta \qquad b = r\sin\theta, \qquad\text{donc}\qquad \cos\theta = \frac{a}{r} \quad\text{et}\quad \sin\theta = \frac{b}{r}.$

Conséquence géométrique. Pour deux points distincts $A$ et $B$ : $\big(\vec u, \overrightarrow{AB}\big) = \arg(z_B - z_A)\ [2\pi].$

2.4 La forme trigonométrique

Définition. Tout complexe non nul $z$, de module $r$ et d'argument $\theta$, s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad r > 0.$ C'est la forme trigonométrique de $z$.

Unicité. Si $r > 0$ et $r' > 0$ : $r(\cos\theta + i\sin\theta) = r'(\cos\theta' + i\sin\theta') \iff r = r'$ et $\theta = \theta'\ [2\pi]$.

Méthode (de la forme algébrique à la forme trigonométrique).

1. On calcule le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. On met $r$ en facteur : $z = r\left(\dfrac{a}{r} + i\,\dfrac{b}{r}\right)$.
3. On cherche un réel $\theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$, avec les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.

Exemple 5. $z = 1 + i\sqrt3$. $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, puis $z = 2\left(\dfrac12 + i\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. On cherche $\theta$ avec $\cos\theta = \dfrac12$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\theta = \dfrac{\pi}{3}$. Donc $z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Exemple 6. $z = -1 + i$. $r = \sqrt2$, $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt2}{2}$ : $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$. De même, $\sqrt3 - i = 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$.

Attention. Dans une forme trigonométrique, le facteur devant la parenthèse doit être strictement positif. Ainsi $-2\left(\cos\dfrac{\pi}{5} + i\sin\dfrac{\pi}{5}\right)$ n'est pas une forme trigonométrique. Comme $-1 = \cos\pi + i\sin\pi$, on obtient $2\left(\cos\dfrac{6\pi}{5} + i\sin\dfrac{6\pi}{5}\right)$ : le module vaut $2$ et un argument est $\dfrac{6\pi}{5}$, soit $-\dfrac{4\pi}{5}$ pour l'argument principal.

Conjugué et opposé. $\arg\overline{z} = -\arg z\ [2\pi]$ et $\arg(-z) = \arg z + \pi\ [2\pi]$ (symétries de la figure).

Exemple 7 (module et argument de $z_B - z_A$). $A(1 + i)$ et $B(3 + 3i)$. $z_B - z_A = 2 + 2i = 2\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$. Donc $AB = 2\sqrt2$ et $\big(\vec u, \overrightarrow{AB}\big) = \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.