Continuité en un point

La continuité est une application directe des limites. L'idée : une fonction est continue quand on trace sa courbe sans lever le crayon.

6.1 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction et $a$ un réel. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

1. $f(a)$ existe ;
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe ;
3. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Interprétation graphique. $f$ est continue en $a$ si, au point d'abscisse $a$, la courbe n'a ni trou, ni saut : on la trace sans lever le crayon de part et d'autre de $a$.

Exemple 23. La fonction carré est continue en $3$ : $\displaystyle\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = 3^2$.

Exemple 24 (deux contre-exemples).

• La partie entière n'est pas continue en $1$ : elle n'a pas de limite en $1$ (exemple 5). La courbe saute.
• Soit $g$ définie par $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $g(1) = 3$. On a $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 2$ (leçon 1), mais $g(1) = 3 \neq 2$ : $g$ n'est pas continue en $1$. Sa courbe est la droite $y = x + 1$ avec un trou en $(1\,;2)$, et un point isolé en $(1\,;3)$.

6.2 Continuité à gauche, continuité à droite

Définitions. $f$ est continue à gauche en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, et continue à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Propriété. $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, elle est continue à gauche et à droite en $a$. C'est une conséquence du théorème de la leçon 2.

Exemple 25. La partie entière est continue à droite en $1$, car $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1 = E(1)$. Elle n'est pas continue à gauche en $1$, car $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0 \neq E(1)$. Elle n'est donc pas continue en $1$.

6.3 Fonctions définies par intervalles

Quand une fonction est définie par des formules différentes sur des intervalles, on étudie sa continuité au point de raccordement : on compare la limite à gauche, la limite à droite et la valeur en ce point.

Exemple 26 (valeur absolue). $\lvert x\rvert = -x$ si $x < 0$ et $\lvert x\rvert = x$ si $x \geq 0$. En $0$ : la limite à gauche vaut $-0 = 0$, la limite à droite vaut $0$, et $\lvert 0\rvert = 0$. La fonction valeur absolue est continue en $0$.

Exemple 27 (avec un paramètre). Soit $m$ un réel, et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + m$ si $x < 1$ et $f(x) = 2x + 3$ si $x \geq 1$. Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?

• $f(1) = 2 \times 1 + 3 = 5$, et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5$ : $f$ est continue à droite en $1$.
• $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + m$.

$f$ est continue en $1$ si, et seulement si, $1 + m = 5$, c'est-à-dire $m = 4$. Pour une autre valeur de $m$, la courbe fait un saut en $1$.