Opérations sur les limites

Les théorèmes de cette leçon sont admis. Ils sont valables quand $x$ tend vers un réel $a$, vers $a$ à gauche ou à droite, vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ : on note simplement « $\lim$ ». Les lettres $\ell$ et $\ell'$ désignent des nombres réels.

4.1 Limite d'une somme

Exemple 11. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + 3x\right) = +\infty$, car $x^2$ et $3x$ tendent tous les deux vers $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^3 + \frac1x\right) = -\infty$, car $x^3$ tend vers $-\infty$ et $\dfrac1x$ tend vers $0$.

4.2 Limite d'un produit

Quand le résultat est infini, son signe se trouve par la règle des signes d'un produit. Par exemple, si $\lim f = -3$ et $\lim g = +\infty$, alors $\lim (f \times g) = -\infty$.

Exemple 12. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac1x\right)\left(x^2 + 1\right) = +\infty$, car le premier facteur tend vers $2$ et le second vers $+\infty$.

4.3 Limite d'un quotient

On écrit « $0^+$ » pour une fonction qui tend vers $0$ en restant positive, et « $0^-$ » pour une fonction qui tend vers $0$ en restant négative.

Là encore, le signe d'un résultat infini se trouve par la règle des signes. Quand le dénominateur tend vers $0$, on étudie son signe près du point, souvent avec un tableau de signes.

Exemple 13. Calculer les limites de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ à gauche et à droite en $1$.

Le numérateur tend vers $3$. Le dénominateur $x - 1$ tend vers $0$ : il est positif pour $x > 1$ et négatif pour $x < 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 1}{x - 1} = +\infty$ (« $\frac{3}{0^+}$ ») et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \frac{2x + 1}{x - 1} = -\infty$ (« $\frac{3}{0^-}$ »). La droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

Exemple 14. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 3}{x^2 - 4}$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 3}{x^2 - 4}$.

Le numérateur tend vers $5$. On a $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ ; près de $2$, $x + 2$ est positif, donc $x^2 - 4$ a le signe de $x - 2$. Ainsi $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 3}{x^2 - 4} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 3}{x^2 - 4} = -\infty$.

4.4 Les quatre formes indéterminées

Dans quatre situations, les théorèmes ne permettent pas de conclure : $\infty - \infty \qquad\quad 0 \times \infty \qquad\quad \frac{\infty}{\infty} \qquad\quad \frac{0}{0}$ (« $\infty - \infty$ » désigne une somme dont un terme tend vers $+\infty$ et l'autre vers $-\infty$.)

Pourquoi « indéterminée » ? Parce que, selon la fonction, le résultat change. En $+\infty$, les trois fonctions suivantes sont toutes de la forme $\infty - \infty$ : $x^2 - x \to +\infty, \qquad x - x^2 \to -\infty, \qquad (x + 1) - x = 1 \to 1.$ « Indéterminée » ne veut pas dire que la limite n'existe pas : cela veut dire qu'il faut transformer l'écriture de la fonction. C'est l'objet de la leçon 5.

4.5 Limite de la racine carrée d'une fonction

Théorème (admis). Soit $u$ une fonction positive au voisinage du point considéré.

• Si $\lim u = \ell$, avec $\ell \geq 0$, alors $\lim \sqrt{u} = \sqrt{\ell}$.
• Si $\lim u = +\infty$, alors $\lim \sqrt u = +\infty$.

Exemple 15. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac1x} = \sqrt4 = 2$, car $4 + \dfrac1x$ tend vers $4$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} = +\infty$, car $x^2 + 1$ tend vers $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to 3} \sqrt{2x + 3} = \sqrt9 = 3$, car $2x + 3$ tend vers $9$.