Qu'est-ce qu'une suite ?

1.1 Définition et notations

Définition. Une suite numérique $u$ est une fonction qui, à tout entier naturel $n$, associe un réel, noté $u_n$ plutôt que $u(n)$ : c'est la notation indicielle.

• $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou d'indice $n$) ; $u_0$ est le premier terme.
• La suite se note $u$, $(u_n)$ ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Il arrive qu'une suite ne soit définie qu'à partir d'un certain entier $n_0$ : on la note alors $(u_n)_{n \geq n_0}$, et son premier terme est $u_{n_0}$.

Attention. $(u_n)$ désigne la suite tout entière, alors que $u_n$ est un nombre. De même, $u_{n+1}$ est le terme de rang $n + 1$, alors que $u_n + 1$ est le terme de rang $n$ augmenté de $1$.

1.2 Les différentes façons de définir une suite

a) Par une formule explicite $u_n = f(n)$. On calcule directement n'importe quel terme à partir de son rang.

Exemple 1. Soit $u_n = n^2 - 3n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Alors $u_0 = 0$, $u_1 = -2$, $u_2 = -2$, $u_3 = 0$, $u_4 = 4$ et $u_{10} = 70$.

Pour exprimer $u_{n+1}$, on remplace $n$ par $n + 1$ : $u_{n+1} = (n + 1)^2 - 3(n + 1) = n^2 - n - 2$. C'est différent de $u_n + 1 = n^2 - 3n + 1$.

b) Par récurrence. On donne le premier terme, puis une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent. On calcule les termes de proche en proche : pour obtenir $u_{10}$, il faut d'abord calculer $u_1$, $u_2$, …, $u_9$.

Exemple 2. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 2$. $u_1 = \frac12 \times 1 + 2 = \frac52 = 2{,}5, \qquad u_2 = \frac12 \times \frac52 + 2 = \frac{13}{4} = 3{,}25, \qquad u_3 = \frac{29}{8} = 3{,}625, \qquad u_4 = \frac{61}{16} = 3{,}8125.$ On passe d'un terme au suivant par la fonction $f : x \mapsto \dfrac12 x + 2$ : $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple 3. Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$. La relation fait intervenir $n$ : $v_1 = v_0 + 2 \times 0 + 1 = 1, \qquad v_2 = v_1 + 2 \times 1 + 1 = 4, \qquad v_3 = 4 + 5 = 9, \qquad v_4 = 9 + 7 = 16.$ Les termes ressemblent aux carrés des entiers : on le démontrera à la leçon 4.

c) Par une situation ou une description. Les termes sont décrits par une phrase ; il reste souvent à trouver une formule.

Exemple 4 (une suite définie à partir du rang 3). Pour $n \geq 3$, on note $d_n$ le nombre de diagonales d'un polygone convexe à $n$ côtés. Un triangle n'en a pas, un quadrilatère en a $2$, un pentagone $5$, un hexagone $9$ : $d_3 = 0$, $d_4 = 2$, $d_5 = 5$, $d_6 = 9$.

• Formule explicite. Chacun des $n$ sommets est relié par une diagonale aux $n - 3$ sommets qui ne sont ni lui-même ni ses deux voisins. On compte ainsi $n(n - 3)$ diagonales, mais chacune deux fois (une fois par extrémité) : $d_n = \dfrac{n(n - 3)}{2}$.
• Relation de récurrence. Quand on ajoute un sommet, on gagne $n - 1$ diagonales : $d_{n+1} = d_n + n - 1$. Par exemple $d_7 = d_6 + 5 = 14$, et la formule donne bien $\dfrac{7 \times 4}{2} = 14$.

1.3 Somme et produit de deux suites

Définition. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, et $\lambda$ un réel. On définit les suites $(u_n + v_n)$, $(u_n \times v_n)$ et $(\lambda u_n)$ terme à terme : leur terme de rang $n$ est $u_n + v_n$, $u_n v_n$ et $\lambda u_n$.

Exemple 5. Avec $u_n = n$ et $v_n = \dfrac{1}{n + 1}$ : la suite somme a pour terme $n + \dfrac{1}{n + 1}$, la suite produit a pour terme $\dfrac{n}{n + 1}$, et la suite $(3u_n)$ a pour terme $3n$.

1.4 Représentation graphique

Sur un axe. On place les points d'abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$, … sur une droite graduée (par exemple l'axe des abscisses), en écrivant le nom de chaque terme. On voit où les termes se placent, et s'ils se rapprochent d'un nombre.

Exemple 6 (suite de l'exemple 2). Les termes $1$ ; $2{,}5$ ; $3{,}25$ ; $3{,}625$ ; $3{,}8125$ se placent de gauche à droite, de plus en plus serrés : ils semblent s'accumuler près de $4$.

Dans un repère. On place les points $M_n\big(n\,;u_n\big)$. On obtient un nuage de points isolés : on ne les relie pas, car $n$ ne prend que des valeurs entières.

Exemple 7 (suite de l'exemple 1). Les points $M_0(0\,;0)$, $M_1(1\,;-2)$, $M_2(2\,;-2)$, $M_3(3\,;0)$, $M_4(4\,;4)$, $M_5(5\,;10)$ sont sur la parabole d'équation $y = x^2 - 3x$, puisque $u_n = f(n)$ avec $f(x) = x^2 - 3x$. La suite ne garde de la courbe que les points d'abscisses entières.