Suites numériques

Leçon 1 : Qu'est-ce qu'une suite ?

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Définition et notations

Définition. Une suite numérique $u$ est une fonction qui, à tout entier naturel $n$, associe un réel, noté $u_n$ plutôt que $u(n)$ : c'est la notation indicielle.

• $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou d'indice $n$) ; $u_0$ est le premier terme.
• La suite se note $u$, $(u_n)$ ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Il arrive qu'une suite ne soit définie qu'à partir d'un certain entier $n_0$ : on la note alors $(u_n)_{n \geq n_0}$, et son premier terme est $u_{n_0}$.

Attention. $(u_n)$ désigne la suite tout entière, alors que $u_n$ est un nombre. De même, $u_{n+1}$ est le terme de rang $n + 1$, alors que $u_n + 1$ est le terme de rang $n$ augmenté de $1$.

1.2 Les différentes façons de définir une suite

a) Par une formule explicite $u_n = f(n)$. On calcule directement n'importe quel terme à partir de son rang.

Exemple 1. Soit $u_n = n^2 - 3n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Alors $u_0 = 0$, $u_1 = -2$, $u_2 = -2$, $u_3 = 0$, $u_4 = 4$ et $u_{10} = 70$.

Pour exprimer $u_{n+1}$, on remplace $n$ par $n + 1$ : $u_{n+1} = (n + 1)^2 - 3(n + 1) = n^2 - n - 2$. C'est différent de $u_n + 1 = n^2 - 3n + 1$.

b) Par récurrence. On donne le premier terme, puis une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent. On calcule les termes de proche en proche : pour obtenir $u_{10}$, il faut d'abord calculer $u_1$, $u_2$, …, $u_9$.

Exemple 2. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 2$. $u_1 = \frac12 \times 1 + 2 = \frac52 = 2{,}5, \qquad u_2 = \frac12 \times \frac52 + 2 = \frac{13}{4} = 3{,}25, \qquad u_3 = \frac{29}{8} = 3{,}625, \qquad u_4 = \frac{61}{16} = 3{,}8125.$ On passe d'un terme au suivant par la fonction $f : x \mapsto \dfrac12 x + 2$ : $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple 3. Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$. La relation fait intervenir $n$ : $v_1 = v_0 + 2 \times 0 + 1 = 1, \qquad v_2 = v_1 + 2 \times 1 + 1 = 4, \qquad v_3 = 4 + 5 = 9, \qquad v_4 = 9 + 7 = 16.$ Les termes ressemblent aux carrés des entiers : on le démontrera à la leçon 4.

c) Par une situation ou une description. Les termes sont décrits par une phrase ; il reste souvent à trouver une formule.

Exemple 4 (une suite définie à partir du rang 3). Pour $n \geq 3$, on note $d_n$ le nombre de diagonales d'un polygone convexe à $n$ côtés. Un triangle n'en a pas, un quadrilatère en a $2$, un pentagone $5$, un hexagone $9$ : $d_3 = 0$, $d_4 = 2$, $d_5 = 5$, $d_6 = 9$.

• Formule explicite. Chacun des $n$ sommets est relié par une diagonale aux $n - 3$ sommets qui ne sont ni lui-même ni ses deux voisins. On compte ainsi $n(n - 3)$ diagonales, mais chacune deux fois (une fois par extrémité) : $d_n = \dfrac{n(n - 3)}{2}$.
• Relation de récurrence. Quand on ajoute un sommet, on gagne $n - 1$ diagonales : $d_{n+1} = d_n + n - 1$. Par exemple $d_7 = d_6 + 5 = 14$, et la formule donne bien $\dfrac{7 \times 4}{2} = 14$.

1.3 Somme et produit de deux suites

Définition. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, et $\lambda$ un réel. On définit les suites $(u_n + v_n)$, $(u_n \times v_n)$ et $(\lambda u_n)$ terme à terme : leur terme de rang $n$ est $u_n + v_n$, $u_n v_n$ et $\lambda u_n$.

Exemple 5. Avec $u_n = n$ et $v_n = \dfrac{1}{n + 1}$ : la suite somme a pour terme $n + \dfrac{1}{n + 1}$, la suite produit a pour terme $\dfrac{n}{n + 1}$, et la suite $(3u_n)$ a pour terme $3n$.

1.4 Représentation graphique

Sur un axe. On place les points d'abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$, … sur une droite graduée (par exemple l'axe des abscisses), en écrivant le nom de chaque terme. On voit où les termes se placent, et s'ils se rapprochent d'un nombre.

Exemple 6 (suite de l'exemple 2). Les termes $1$ ; $2{,}5$ ; $3{,}25$ ; $3{,}625$ ; $3{,}8125$ se placent de gauche à droite, de plus en plus serrés : ils semblent s'accumuler près de $4$.

Dans un repère. On place les points $M_n\big(n\,;u_n\big)$. On obtient un nuage de points isolés : on ne les relie pas, car $n$ ne prend que des valeurs entières.

Exemple 7 (suite de l'exemple 1). Les points $M_0(0\,;0)$, $M_1(1\,;-2)$, $M_2(2\,;-2)$, $M_3(3\,;0)$, $M_4(4\,;4)$, $M_5(5\,;10)$ sont sur la parabole d'équation $y = x^2 - 3x$, puisque $u_n = f(n)$ avec $f(x) = x^2 - 3x$. La suite ne garde de la courbe que les points d'abscisses entières.

Leçon 2 : Sens de variation d'une suite

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Définitions

Définitions. On dit que la suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ ;
• constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante.

On dit qu'une suite est croissante à partir du rang $p$ si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \geq p$ (de même pour les autres définitions).

Une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : la suite $\big((-1)^n\big)$ vaut $1, -1, 1, -1, \ldots$

2.2 Méthode 1 : le signe de $u_{n+1} - u_n$

On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ et on étudie son signe. Si elle est positive pour tout $n$, la suite est croissante ; si elle est négative, la suite est décroissante.

Exemple 8. Soit $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$. Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{(n + 1) - (n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{-1}{(n + 1)(n + 2)} < 0.$ La suite est strictement décroissante.

Exemple 9 (une suite définie par récurrence). Pour la suite $(v_n)$ de l'exemple 3, $v_{n+1} - v_n = 2n + 1 > 0$ pour tout $n$ : la suite est strictement croissante.

Exemple 10 (à partir d'un rang). Pour $u_n = n^2 - 3n$ (exemple 1), $u_{n+1} - u_n = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) = 2n - 2$. Cette différence est négative pour $n = 0$, nulle pour $n = 1$, strictement positive pour $n \geq 2$. La suite est croissante à partir du rang $1$, et strictement croissante à partir du rang $2$. Elle n'est pas croissante dès le rang $0$, car $u_1 = -2 < u_0 = 0$.

2.3 Méthode 2 : comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ (termes strictement positifs)

Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ : s'il est supérieur à $1$ pour tout $n$, alors $u_{n+1} > u_n$ et la suite est strictement croissante ; s'il est inférieur à $1$, elle est strictement décroissante. Cette méthode est commode quand $u_n$ contient une puissance $q^n$.

Exemple 11. Soit $u_n = \dfrac{n + 1}{3^n}$. Les termes sont strictement positifs et $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n + 2}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{n + 1} = \frac{n + 2}{3(n + 1)}.$ Or $n + 2 < 3n + 3$, puisque $2n + 1 > 0$. Le quotient est donc strictement inférieur à $1$ : la suite est strictement décroissante.

2.4 Méthode 3 : utiliser la fonction associée (suites $u_n = f(n)$)

Propriété. Si $u_n = f(n)$ pour tout $n$, et si $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $[0\,;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante).

Justification. Pour tout $n$, $n < n + 1$, donc $f(n) < f(n + 1)$ si $f$ est strictement croissante.

Exemple 12. Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$. On a $u_n = f(n)$ avec $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$, dérivable sur $[0\,;+\infty[$, et (chapitre 3) $f'(x) = \frac{2(x + 3) - (2x + 1)}{(x + 3)^2} = \frac{5}{(x + 3)^2} > 0.$ La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Vérification par la méthode 1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{(n + 3)(n + 4)} > 0$.

Attention. Cette méthode ne vaut que pour les suites définies par une formule explicite $u_n = f(n)$.

Leçon 3 : Suites bornées, suites périodiques, comparaison

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Suites majorées, minorées, bornées

Définitions. On dit que la suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; $M$ est un majorant de la suite ;
• minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; $m$ est un minorant ;
• bornée si elle est à la fois majorée et minorée : $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$.

Graphiquement, une suite bornée a tous ses points $M_n(n\,;u_n)$ dans la bande comprise entre les droites d'équations $y = m$ et $y = M$.

Méthode. Pour montrer que $M$ est un majorant, on étudie le signe de $u_n - M$ ; pour un minorant $m$, le signe de $u_n - m$.

Exemple 13. Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ (exemple 12). Pour tout $n$, $u_n - 2 = \dfrac{2n + 1 - 2(n + 3)}{n + 3} = \dfrac{-5}{n + 3} < 0$, donc $u_n < 2$ : la suite est majorée par $2$. Comme elle est croissante, $u_n \geq u_0 = \dfrac13$. Ainsi $\dfrac13 \leq u_n < 2$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

Exemple 14. Soit $u_n = n^2 - 3n$ (exemple 1). Elle est croissante à partir du rang $1$, donc $u_n \geq u_1 = -2$ pour $n \geq 1$, et $u_0 = 0 \geq -2$ : la suite est minorée par $-2$. Elle n'est pas majorée : pour $n \geq 4$, $n - 3 \geq 1$, donc $u_n = n(n - 3) \geq n$, et les termes dépassent n'importe quel réel.

Propriété. Une suite croissante est minorée par son premier terme. Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

3.2 Suites périodiques

Définition. Soit $p$ un entier naturel non nul. La suite $(u_n)$ est périodique de période $p$ si $u_{n+p} = u_n$ pour tout $n$ : les termes se répètent tous les $p$ rangs.

Exemple 15. La suite $\big((-1)^n\big)$ est périodique de période $2$. La suite $w_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$, qui vaut $1, 0, -1, 0, 1, 0, \ldots$, est périodique de période $4$, car $\cos\left(\dfrac{(n + 4)\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$.

Exemple 16 (une suite définie par récurrence). Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 1 - u_n$. Les termes valent $3, -2, 3, -2, \ldots$ En effet, pour tout $n$, $u_{n+2} = 1 - u_{n+1} = 1 - (1 - u_n) = u_n.$ La suite est périodique de période $2$.

Une suite périodique ne prend qu'un nombre fini de valeurs : elle est bornée.

3.3 Comparaison de deux suites

Définition. On dit que $(u_n) \leq (v_n)$ si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$. On le dit aussi « à partir d'un certain rang » quand l'inégalité n'est vraie que pour $n \geq p$.

Méthode. On étudie le signe de la différence $u_n - v_n$.

Exemple 17. Soit $u_n = n^2$ et $v_n = 3n - 2$. Pour tout $n$, $u_n - v_n = n^2 - 3n + 2 = (n - 1)(n - 2).$ Si $n \leq 1$, les deux facteurs sont négatifs ou nuls ; si $n \geq 2$, ils sont positifs ou nuls. Dans tous les cas le produit est positif ou nul : $u_n \geq v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, avec égalité pour $n = 1$ et $n = 2$.

Remarque : pour un réel $x$ compris strictement entre $1$ et $2$, on aurait $x^2 - 3x + 2 < 0$ ; mais il n'y a aucun entier entre $1$ et $2$.

Leçon 4 : Le raisonnement par récurrence

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4.1 Le principe

Pour démontrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$, qui dépend d'un entier naturel $n$, est vraie pour tout entier $n \geq n_0$, on procède en deux étapes.

1. Initialisation : on vérifie que $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie.
2. Hérédité : on suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un entier $n \geq n_0$ quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence), et on démontre qu'alors $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

Conclusion : $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

C'est l'image d'une échelle : on peut monter sur le premier barreau (initialisation), et de chaque barreau on peut monter sur le suivant (hérédité). On peut donc atteindre tous les barreaux.

4.2 Démontrer une formule

Exemple 18 (suite de l'exemple 3). Soit $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$. Montrons que $v_n = n^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $v_n = n^2$ ».

Initialisation. $v_0 = 0 = 0^2$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $v_n = n^2$. Alors $v_{n+1} = v_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$ : $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = n^2$.

Comme $v_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$ pour $n \geq 1$, on a aussi démontré que la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$. On le voit sur un carré de côté $n$ : on passe au carré de côté $n + 1$ en ajoutant une bande en équerre de $2n + 1$ petits carrés.

Exemple 19 (suite de l'exemple 2). Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 2$. Montrons que $u_n = 4 - \dfrac{3}{2^n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Initialisation. $4 - \dfrac{3}{2^0} = 4 - 3 = 1 = u_0$.

Hérédité. Supposons $u_n = 4 - \dfrac{3}{2^n}$ pour un entier $n$. Alors $u_{n+1} = \frac12\left(4 - \frac{3}{2^n}\right) + 2 = 2 - \frac{3}{2^{n+1}} + 2 = 4 - \frac{3}{2^{n+1}}.$

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 4 - \dfrac{3}{2^n}$. Par exemple $u_{10} = 4 - \dfrac{3}{1024} = \dfrac{4093}{1024} \approx 3{,}997$.

4.3 Démontrer une inégalité, un sens de variation

Exemple 20 (suite de l'exemple 2). Montrons que $u_n < 4$ pour tout $n$, sans utiliser la formule de l'exemple 19.

Initialisation. $u_0 = 1 < 4$.

Hérédité. Supposons $u_n < 4$. Alors $\dfrac12 u_n < 2$, donc $\dfrac12 u_n + 2 < 4$, c'est-à-dire $u_{n+1} < 4$.

Conclusion. $u_n < 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Sens de variation. $u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac12 u_n = \dfrac12(4 - u_n) > 0$, puisque $u_n < 4$. La suite est strictement croissante. Elle est donc minorée par $u_0 = 1$, et $1 \leq u_n < 4$ : elle est bornée.

4.4 Les deux étapes sont indispensables

• Vérifier quelques cas ne suffit pas. Le nombre $n^2 + n + 41$ est premier pour $n = 0, 1, 2, \ldots, 39$, mais pas pour $n = 40$ : $40^2 + 40 + 41 = 1681 = 41^2$.
• L'hérédité seule ne suffit pas. Soit $\mathcal{P}(n)$ : « $4^n + 1$ est un multiple de $3$ ». Si $4^n + 1 = 3k$, alors $4^{n+1} + 1 = 4\left(4^n + 1\right) - 3 = 3(4k - 1)$ : l'hérédité est vraie. Pourtant $4^0 + 1 = 2$ n'est pas un multiple de $3$, et en fait $\mathcal{P}(n)$ est fausse pour tout $n$ ($4^n + 1$ vaut $2, 5, 17, 65, \ldots$).

Leçon 5 : Suites arithmétiques

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5.1 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n + r.$ Le réel $r$ est la raison de la suite : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Démontrer qu'une suite est arithmétique. On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on vérifie que cette différence ne dépend pas de $n$.

Exemple 21. Soit $u_n = 5 - 3n$. Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 5 - 3(n + 1) - (5 - 3n) = -3$. La suite est arithmétique, de raison $-3$ et de premier terme $u_0 = 5$.

En revanche, pour $w_n = n^2$, $w_{n+1} - w_n = 2n + 1$ dépend de $n$ : par exemple $w_1 - w_0 = 1$ et $w_2 - w_1 = 3$. La suite $(w_n)$ n'est pas arithmétique.

Exemple 22 (modèle simplifié). Une élève a $20\,000$ F dans sa tirelire et y ajoute $2\,500$ F à la fin de chaque mois. On note $s_n$ son épargne au bout de $n$ mois : $s_0 = 20\,000$ et $s_{n+1} = s_n + 2\,500$. La suite $(s_n)$ est arithmétique de raison $2\,500$.

5.2 Terme général

Propriété. Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_0 + nr \qquad \text{et} \qquad u_n = u_p + (n - p)\,r.$

Justification. Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois la raison (on le démontre par récurrence : $u_0 = u_0 + 0 \times r$, et si $u_n = u_0 + nr$, alors $u_{n+1} = u_0 + nr + r = u_0 + (n + 1)r$). Pour aller de $u_p$ à $u_n$, on ajoute $n - p$ fois la raison.

Exemple 23. Dans l'exemple 22, $s_n = 20\,000 + 2\,500\,n$. Au bout d'un an, $s_{12} = 50\,000$ F. L'épargne atteint $100\,000$ F quand $2\,500\,n \geq 80\,000$, c'est-à-dire à partir de $n = 32$ mois.

Exemple 24. $(u_n)$ est arithmétique, avec $u_3 = 7$ et $u_{10} = 28$. Comme $u_{10} = u_3 + 7r$, on a $7r = 21$, donc $r = 3$. Puis $u_0 = u_3 - 3r = -2$, et $u_n = -2 + 3n$. Par exemple $u_{100} = 298$.

5.3 Sens de variation et représentation

Comme $u_{n+1} - u_n = r$ :

• si $r > 0$, la suite est strictement croissante ;
• si $r < 0$, elle est strictement décroissante ;
• si $r = 0$, elle est constante.

Les points $M_n\big(n\,;u_0 + nr\big)$ sont alignés sur la droite d'équation $y = rx + u_0$ : une suite arithmétique a une croissance (ou une décroissance) linéaire.

5.4 Somme de termes consécutifs, notation $\sum$

La somme des premiers entiers. Pour tout $n \geq 1$, $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.$ Démonstration. On écrit la somme $S$ dans les deux sens et on additionne : $\begin{aligned} S &= 1 + 2 + \cdots + (n - 1) + n \\ S &= n + (n - 1) + \cdots + 2 + 1 \\ 2S &= (n + 1) + (n + 1) + \cdots + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1). \end{aligned}$ Par exemple, $1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5\,050$.

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$ De $u_p$ à $u_n$ (avec $p \leq n$), il y a $n - p + 1$ termes : $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = (n - p + 1)\,\dfrac{u_p + u_n}{2}$.

Démonstration. Chaque terme s'écrit $u_p + kr$, avec $k$ allant de $0$ à $n - p$. La somme vaut donc $(n - p + 1)\,u_p + r\,\big(0 + 1 + \cdots + (n - p)\big) = (n - p + 1)\,u_p + r\,\dfrac{(n - p)(n - p + 1)}{2} = (n - p + 1)\,\dfrac{2u_p + (n - p)r}{2}$, et $2u_p + (n - p)r = u_p + u_n$.

Notation $\sum$. La somme $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$ s'écrit $\displaystyle\sum_{k=p}^{n} u_k$, qui se lit « somme, pour $k$ allant de $p$ à $n$, de $u$ indice $k$ ». La lettre $k$ est muette : on peut la remplacer par une autre lettre. Par exemple $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = 5\,050$.

Exemple 25. Avec $u_n = -2 + 3n$ (exemple 24) :

• $\displaystyle\sum_{k=0}^{20} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ compte $21$ termes, de $u_0 = -2$ à $u_{20} = 58$ : la somme vaut $21 \times \dfrac{-2 + 58}{2} = 21 \times 28 = 588$ ;
• $\displaystyle\sum_{k=3}^{10} u_k = 7 + 10 + 13 + \cdots + 28$ compte $10 - 3 + 1 = 8$ termes : elle vaut $8 \times \dfrac{7 + 28}{2} = 140$.

Leçon 6 : Suites géométriques

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1} = q\,u_n.$ Le réel $q$ est la raison de la suite : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Démontrer qu'une suite est géométrique. On écrit $u_{n+1}$ sous la forme $q \times u_n$, avec $q$ indépendant de $n$. Si les termes ne s'annulent pas, cela revient à montrer que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne dépend pas de $n$.

Exemple 26. Soit $u_n = 2^{2n+1}$. Pour tout $n$, $u_{n+1} = 2^{2n+3} = 2^2 \times 2^{2n+1} = 4\,u_n$. La suite est géométrique, de raison $4$ et de premier terme $u_0 = 2$.

En revanche, pour $v_n = n \times 2^n$ : $v_1 = 2$, $v_2 = 8$, $v_3 = 24$, et $\dfrac{v_2}{v_1} = 4 \neq \dfrac{v_3}{v_2} = 3$. La suite $(v_n)$ n'est pas géométrique.

Pourcentages. Augmenter une quantité de $t\,\%$ revient à la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; la diminuer de $t\,\%$, à la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. Une quantité qui augmente chaque année du même pourcentage suit donc une suite géométrique.

Exemple 27 (modèle simplifié). Une ville compte $50\,000$ habitants en 2026, et sa population augmente de $3\,\%$ par an. On note $p_n$ la population en $2026 + n$ : $p_0 = 50\,000$ et $p_{n+1} = 1{,}03\,p_n$. La suite $(p_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$.

6.2 Terme général

Propriété. Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0\,q^n$, et pour tous entiers $n \geq p$, $u_n = u_p\,q^{n-p}$.

Justification. Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$ (on le démontre par récurrence, comme pour les suites arithmétiques).

Exemple 28. Dans l'exemple 27, $p_n = 50\,000 \times 1{,}03^n$. En 2036, la population est $p_{10} = 50\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 67\,196$ habitants.

Exemple 29. $(u_n)$ est géométrique, avec $u_1 = 6$ et $u_4 = 162$. Comme $u_4 = u_1\,q^3$, on a $q^3 = 27$, donc $q = 3$. Puis $u_0 = \dfrac{u_1}{q} = 2$, et $u_n = 2 \times 3^n$. Par exemple $u_6 = 1\,458$.

6.3 Sens de variation et représentation

Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = u_0\,q^{n+1} - u_0\,q^n = u_0\,q^n(q - 1)$. Lorsque $u_0 > 0$ et $q > 0$ :

• si $q > 1$, la suite est strictement croissante ;
• si $0 < q < 1$, elle est strictement décroissante ;
• si $q = 1$, elle est constante.

Si $u_0 < 0$, les sens sont inversés. Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.

Les points $M_n(n\,;u_n)$ ne sont pas alignés. Avec $u_n = 2 \times 3^n$, ils montrent une croissance de plus en plus rapide : on multiplie à chaque pas. Avec $u_n = 8 \times \left(\dfrac12\right)^n$, ils se rapprochent de l'axe des abscisses. Avec $u_n = 8 \times \left(-\dfrac12\right)^n$, les termes placés sur un axe sautent d'un côté à l'autre de $0$, en s'en rapprochant.

6.4 Somme de termes consécutifs

Propriété (formule du programme). Pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$, $\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^n\right)(1 - x) = 1 - x^{n+1}.$ Démonstration. En développant, on obtient $\left(1 + x + \cdots + x^n\right) - \left(x + x^2 + \cdots + x^{n+1}\right)$ : tous les termes se simplifient, sauf $1$ et $-x^{n+1}$.

Conséquence. Pour tout réel $q \neq 1$, $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$ Si $q = 1$, la somme vaut $n + 1$.

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ vaut $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$ En effet, $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = u_p\left(1 + q + \cdots + q^{n-p}\right) = u_p\,\dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$.

Exemple 30. $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2\,047$.

Exemple 31. Avec $u_n = 2 \times 3^n$ (exemple 29) : $\displaystyle\sum_{k=0}^{5} u_k = 2 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \times \frac{-728}{-2} = 728$. Vérification : $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$.

Exemple 32. $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 2\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}}\right) = 2 - \dfrac{1}{2^n}$.

Leçon 7 : Convergence d'une suite

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Une approche intuitive

Que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient très grand ? On dit « quand $n$ tend vers $+\infty$ ».

Exemple 33. Soit $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$. Alors $u_{10} = \dfrac{1}{11} \approx 0{,}09$, $u_{100} = \dfrac{1}{101} \approx 0{,}0099$, $u_{1000} = \dfrac{1}{1001} \approx 0{,}000\,999$. Les termes se rapprochent de $0$ autant que l'on veut : pour avoir $u_n < 0{,}001$, il suffit que $n + 1 > 1\,000$, c'est-à-dire $n \geq 1\,000$.

Définition (approche intuitive). On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$, ou qu'elle admet $\ell$ pour limite, si les termes $u_n$ peuvent être aussi proches de $\ell$ que l'on veut, à condition que $n$ soit suffisamment grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim u_n = \ell.$ Graphiquement, les points $M_n(n\,;u_n)$ finissent par entrer, et rester, dans n'importe quelle bande horizontale aussi étroite que l'on veut autour de la droite $y = \ell$.

Exemple 34. Soit $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n + 1}$. Les termes valent $3$ ; $1{,}5$ ; $2{,}33$ ; $1{,}75$ ; $2{,}2$… Sur un axe, ils sautent de part et d'autre de $2$ en s'en rapprochant. L'écart entre $u_n$ et $2$ vaut $\dfrac{1}{n + 1}$, qui devient aussi petit que l'on veut : la suite converge vers $2$.

Définition. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Il y a deux cas :

• la suite tend vers $+\infty$ (ses termes deviennent aussi grands que l'on veut pour $n$ assez grand), ou vers $-\infty$ : c'est le cas de $(n^2)$ ;
• la suite n'a pas de limite : c'est le cas de $\big((-1)^n\big)$, qui vaut alternativement $1$ et $-1$.

7.2 Théorèmes admis

Unicité. Si une suite admet une limite, cette limite est unique.

Suites $u_n = f(n)$. Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ ($\ell$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$), alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(n) = \ell$. On utilise donc les limites en $+\infty$ du chapitre 2.

Suites de référence. Pour $n \geq 1$ : les suites $\left(\dfrac1n\right)$, $\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ et $\left(\dfrac{1}{\sqrt n}\right)$ convergent vers $0$ ; les suites $(n)$, $(n^2)$ et $(\sqrt n)$ tendent vers $+\infty$.