Limite à gauche, limite à droite

2.1 Se rapprocher d'un seul côté

On peut s'approcher de $a$ par des valeurs inférieures à $a$ (à gauche de $a$) ou par des valeurs supérieures à $a$ (à droite de $a$). L'introduction se fait comme pour la limite.

Exemple de la partie entière. On note $E(x)$ la partie entière de $x$ (Seconde) : c'est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

• Pour $x \in [0\,;1[$, $E(x) = 0$ : quand $x$ tend vers $1$ en restant inférieur à $1$, $E(x)$ tend vers $0$.
• Pour $x \in [1\,;2[$, $E(x) = 1$ : quand $x$ tend vers $1$ en restant supérieur à $1$, $E(x)$ tend vers $1$.

La courbe de $E$ est un « escalier » : en $1$, elle fait un saut.

Définitions et notations.

• Si $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ que l'on veut pour $x$ suffisamment proche de $a$ avec $x < a$, on dit que $f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$, et on écrit $\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = \ell, \qquad \lim_{x \to a^-} f(x) = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim_{a^-} f = \ell.$
• De même, avec $x > a$, on parle de limite à droite en $a$ : $\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = \ell, \qquad \lim_{x \to a^+} f(x) = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim_{a^+} f = \ell.$

Pour la partie entière : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$.

2.2 Le théorème

Théorème (admis). Si $f$ admet en $a$ une limite à gauche et une limite à droite égales à $\ell$, alors $f$ admet en $a$ une limite égale à $\ell$ : $\text{si} \quad \lim_{a^-} f = \lim_{a^+} f = \ell, \quad \text{alors} \quad \lim_a f = \ell.$

Conséquence. Si $f$ admet une limite $\ell$ en $a$, ses limites à gauche et à droite en $a$ sont égales à $\ell$. Donc, si les limites à gauche et à droite en $a$ sont différentes (ou si l'une d'elles n'existe pas), $f$ n'a pas de limite en $a$.

Exemple 5 (partie entière). $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$ : ces limites sont différentes, donc $E$ n'a pas de limite en $1$. En revanche, pour $x \in [1\,;2[$, $E(x) = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1{,}5} E(x) = 1$.

Exemple 6 (fonction définie par morceaux). Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$ si $x < 1$ et $f(x) = 3x - 1$ si $x \geq 1$.

• À gauche de $1$, $f(x) = x^2 + 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$.
• À droite de $1$, $f(x) = 3x - 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \times 1 - 1 = 2$.

Les deux limites sont égales à $2$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

Exemple 7. Soit $g(x) = \dfrac{\lvert x\rvert}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$. Pour $x > 0$, $\lvert x\rvert = x$ et $g(x) = 1$ ; pour $x < 0$, $\lvert x\rvert = -x$ et $g(x) = -1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} g(x) = -1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1$ : $g$ n'a pas de limite en $0$.

Exemple 8 (racine carrée en $0$). La racine carrée n'est définie que pour $x \geq 0$ : en $0$, on ne peut parler que de limite à droite, et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt x = 0$.