Limites et continuité

1. Question 1 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(x^3 - 3x\right) =$

   A $2$ B $8$ C $-2$ D $14$

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   Réponse A. Pour un polynôme, on remplace $x$ par $2$ : $8 - 6 = 2$ .

2. Question 2 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} =$

   A $0$ B $3$ C $6$ D n'existe pas

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   Réponse C. Pour $x \neq 3$ , $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ , qui tend vers $6$ . La fonction n'est pas définie en $3$ , mais sa limite existe.

3. Question 3 sur 18$f(x) = x + 1$ si $x < 2$ et $f(x) = 2x - 1$ si $x \geq 2$ . Alors $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) =$

   A $2$ B $5$ C n'existe pas D $3$

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   Réponse D. La limite à gauche vaut $2 + 1 = 3$ et la limite à droite vaut $4 - 1 = 3$ : elles sont égales, donc la limite en $2$ vaut $3$ .

4. Question 4 sur 18$E$ désigne la partie entière. $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) =$

   A $1$ B $0$ C $-1$ D n'existe pas

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   Réponse B. Pour $x \in [0\,;1[$ , $E(x) = 0$ . La réponse A est la limite à droite.

5. Question 5 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3} =$

   A $+\infty$ B $0$ C $-\infty$ D n'existe pas

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   Réponse C. Pour $x < 0$ , $x^3 < 0$ : $\dfrac{1}{x^3}$ est négatif et devient aussi grand que l'on veut en valeur absolue.

6. Question 6 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^4 =$

   A $-\infty$ B $0$ C $1$ D $+\infty$

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   Réponse D. L'exposant $4$ est pair : $x^4$ est positif et tend vers $+\infty$ .

7. Question 7 sur 18La courbe de $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x - 3}$ a pour asymptotes les droites d'équations

   A $x = 3$ et $y = 2$ B $x = 2$ et $y = 3$ C $x = -3$ et $y = 2$ D $x = 3$ seulement

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   Réponse A. $f$ tend vers l'infini en $3$ (asymptote verticale $x = 3$ ) et vers $2$ en $\pm\infty$ (asymptote horizontale $y = 2$ ).

8. Question 8 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1} =$

   A $-\infty$ B $3$ C $+\infty$ D $0$

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   Réponse C. Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur tend vers $0$ en restant positif : « $\frac{3}{0^+}$ » donne $+\infty$ .

9. Question 9 sur 18Laquelle de ces situations est une forme indéterminée ?

   A $\lim f = +\infty$ et $\lim g = +\infty$ , pour $f + g$ B $\lim f = 0$ et $\lim g = +\infty$ , pour $f \times g$ C $\lim f = 2$ et $\lim g = +\infty$ , pour $\dfrac{f}{g}$ D $\lim f = -\infty$ et $\lim g = 3$ , pour $f \times g$

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   Réponse B. « $0 \times \infty$ » est une forme indéterminée. Dans les autres cas, on conclut : $+\infty$ , $0$ et $-\infty$ .

10. Question 10 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{1 - x^2} =$

    A $3$ B $0$ C $-\infty$ D $-3$

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    Réponse D. En $-\infty$ , la fonction rationnelle a la limite du quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{3x^2}{-x^2} = -3$ .

11. Question 11 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} =$

    A $\dfrac12$ B $0$ C $1$ D $2$

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    Réponse A. Avec l'expression conjuguée, pour $x \neq 1$ , $\dfrac{\sqrt x - 1}{x - 1} = \dfrac{1}{\sqrt x + 1}$ , qui tend vers $\dfrac12$ .

12. Question 12 sur 18$g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ si $x \neq 2$ , et $g(2) = k$ . La fonction $g$ est continue en $2$ si, et seulement si, $k =$

    A $0$ B $2$ C $4$ D aucune valeur ne convient

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    Réponse C. Pour $x \neq 2$ , $g(x) = x + 2$ , qui tend vers $4$ : il faut $g(2) = 4$ .

13. Question 13 sur 18$f(x) = x^2 + m$ si $x < 1$ et $f(x) = 3x$ si $x \geq 1$ . La fonction $f$ est continue en $1$ si, et seulement si, $m =$

    A $3$ B $2$ C $1$ D $4$

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    Réponse B. $f(1) = 3$ et la limite à droite vaut $3$ ; la limite à gauche vaut $1 + m$ . Il faut $1 + m = 3$ , soit $m = 2$ .

14. Question 14 sur 18L'image de l'intervalle $[-2\,;1]$ par la fonction carré est

    A $[1\,;4]$ B $[0\,;4]$ C $[-4\,;1]$ D $[0\,;1]$

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    Réponse B. La fonction carré est continue ; elle décroît de $4$ à $0$ sur $[-2\,;0]$ , puis croît de $0$ à $1$ sur $[0\,;1]$ . L'image est $[0\,;4]$ . La réponse A oublie que $0$ est atteint en $0$ .

15. Question 15 sur 18Laquelle de ces fonctions n'est pas continue sur $[0\,;2]$ ?

    A $x \mapsto x^2 - 3x$ B $x \mapsto \sqrt{x}$ C $x \mapsto \dfrac{1}{x + 1}$ D $x \mapsto E(x)$ (partie entière)

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    Réponse D. La partie entière saute en $1$ et en $2$ . Les trois autres sont des fonctions usuelles définies sur tout $[0\,;2]$ , donc continues.

16. Question 16 sur 18$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} =$

    A $0$ B $\dfrac12$ C $1$ D $2$

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    Réponse D. $\dfrac{\sin 2x}{x} = 2 \times \dfrac{\sin 2x}{2x}$ , et $\dfrac{\sin 2x}{2x}$ tend vers $1$ .

17. Question 17 sur 18La fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ se prolonge par continuité en $1$ en posant $f(1) =$

    A $0$ B $1$ C $2$ D elle n'est pas prolongeable

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    Réponse C. Pour $x \neq 1$ , $f(x) = x + 1$ , qui tend vers $2$ .

18. Question 18 sur 18$f$ est continue sur $[0\,;3]$ , avec $f(0) = -2$ et $f(3) = 4$ . On peut affirmer que

    A l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;3]$ B l'équation $f(x) = 0$ a exactement une solution dans $[0\,;3]$ C l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans $[0\,;3]$ D l'équation $f(x) = 5$ a une solution dans $[0\,;3]$

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    Réponse A. $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(3)$ : c'est le théorème des valeurs intermédiaires. Sans savoir si $f$ est strictement monotone, on ne peut pas affirmer B ; et $5$ n'est pas entre $-2$ et $4$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.