Dérivabilité de $x \mapsto |g(x)|$

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et $f = |g|$, c'est-à-dire $f(x) = |g(x)|$.

9.1 Là où $g$ ne s'annule pas

• Si $g(x_0) > 0$ : comme $g$ est continue, $g(x) > 0$ pour $x$ proche de $x_0$. Près de $x_0$, $f = g$, donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = g'(x_0)$.
• Si $g(x_0) < 0$ : près de $x_0$, $f = -g$, donc $f'(x_0) = -g'(x_0)$.

Exemple 37. Soit $f(x) = |x^2 - 1|$. Pour $x \in ]-1\,;1[$, $x^2 - 1 < 0$, donc $f(x) = 1 - x^2$ et $f'(x) = -2x$. Pour $x < -1$ ou $x > 1$, $f(x) = x^2 - 1$ et $f'(x) = 2x$.

9.2 Là où $g$ s'annule

Si $g(x_0) = 0$, on étudie séparément les nombres dérivés à gauche et à droite.

Exemple 38 (suite). En $x_0 = 1$, $f(1) = 0$.

• À droite ($x > 1$) : $\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$, qui tend vers $2$ : $f'_d(1) = 2$.
• À gauche ($-1 < x < 1$) : $\dfrac{1 - x^2}{x - 1} = -(x + 1)$, qui tend vers $-2$ : $f'_g(1) = -2$.

$f$ n'est pas dérivable en $1$ : le point $(1\,;0)$ est un point anguleux, de demi-tangentes $y = 2(x - 1)$ pour $x \geq 1$ et $y = -2(x - 1)$ pour $x \leq 1$. De même, en $-1$ : $f'_g(-1) = -2$ et $f'_d(-1) = 2$.

9.3 La règle générale

Si $g(x_0) = 0$, alors $f(x_0 + h) - f(x_0) = |g(x_0 + h) - g(x_0)|$, donc le taux de $f$ est égal à $\left|\dfrac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h}\right|$ si $h > 0$, et à l'opposé de ce nombre si $h < 0$. Quand $h$ tend vers $0$ :

Propriété. Si $g(x_0) = 0$, alors $f = |g|$ est dérivable à gauche et à droite en $x_0$, et $f'_d(x_0) = |g'(x_0)| \qquad \text{et} \qquad f'_g(x_0) = -|g'(x_0)|.$

• Si $g'(x_0) \neq 0$, ces nombres sont différents : $f$ n'est pas dérivable en $x_0$, le point $\big(x_0\,;0\big)$ est un point anguleux.
• Si $g'(x_0) = 0$, ils sont égaux à $0$ : $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = 0$ (tangente horizontale).

Exemple 39. $f(x) = |x^3 - x^2| = x^2\,|x - 1|$. Ici $g(x) = x^3 - x^2$ et $g'(x) = 3x^2 - 2x$. La fonction $g$ s'annule en $0$ et en $1$.

• En $0$ : $g'(0) = 0$, donc $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) = 0$.
• En $1$ : $g'(1) = 1 \neq 0$, donc $f'_g(1) = -1$ et $f'_d(1) = 1$ : point anguleux.

Exemple 40. $f(x) = |\sin x|$. En $0$, $\sin 0 = 0$ et $\sin'(0) = \cos 0 = 1$ : $f'_g(0) = -1$, $f'_d(0) = 1$, l'origine est un point anguleux. De même en chaque réel $k\pi$ ($k$ entier), où $\cos(k\pi) = \pm 1 \neq 0$.

Méthode. On cherche les réels où $g$ s'annule. Ailleurs, $f$ est dérivable, et l'on supprime la valeur absolue grâce au signe de $g$. En chaque zéro de $g$, on calcule les nombres dérivés à gauche et à droite (ou on applique la règle), puis on conclut : dérivable, ou point anguleux.