Règles de calcul

Dans toute la leçon, $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ est un réel.

5.1 Somme, produit par un réel

$(u + v)' = u' + v' \qquad \text{et} \qquad (k\,u)' = k\,u'.$ En effet, le taux de $u + v$ est la somme des taux de $u$ et de $v$, et celui de $ku$ est $k$ fois celui de $u$.

Conséquence. On dérive un polynôme terme à terme : un polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Exemple 21. $P(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ a pour dérivée $P'(x) = 3 \times 4x^3 - 5 \times 2x + 2 = 12x^3 - 10x + 2$.

5.2 Produit

$(u\,v)' = u'\,v + u\,v'.$ Attention : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Démonstration. Pour $x$ dans $I$ et $h \neq 0$ : $\frac{u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)}{h} = \frac{u(x + h) - u(x)}{h}\,v(x + h) + u(x)\,\frac{v(x + h) - v(x)}{h}.$ Quand $h$ tend vers $0$, les deux taux tendent vers $u'(x)$ et $v'(x)$ ; et $v(x + h)$ tend vers $v(x)$, car $v$, dérivable, est continue (leçon 1). D'où le résultat.

Exemple 22. $f(x) = (2x + 1)\sqrt x$ sur $]0\,;+\infty[$. Avec $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = \sqrt x$ : $u'(x) = 2$ et $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$. Donc $f'(x) = 2\sqrt x + \frac{2x + 1}{2\sqrt x} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt x} = \frac{6x + 1}{2\sqrt x}.$

Exemple 23. $f(x) = x \sin x$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 1 \times \sin x + x \cos x = \sin x + x\cos x$.

5.3 Inverse et quotient

Si $v$ ne s'annule pas sur $I$ : $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2} \qquad \text{et} \qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.$

Démonstration de la première formule. $\dfrac{1}{v(x + h)} - \dfrac{1}{v(x)} = -\dfrac{v(x + h) - v(x)}{v(x + h)\,v(x)}$ ; on divise par $h$ et on fait tendre $h$ vers $0$ (en utilisant encore la continuité de $v$). La seconde s'en déduit en écrivant $\dfrac uv = u \times \dfrac1v$ et en appliquant la règle du produit.

Conséquence. Une fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition.

Exemple 24. $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$ sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$. Avec $u(x) = x^2 + 1$, $v(x) = x - 2$, $u'(x) = 2x$, $v'(x) = 1$ : $g'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \times 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}.$ En $3$ : $g(3) = 10$ et $g'(3) = \dfrac{9 - 12 - 1}{1} = -4$. La tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = -4(x - 3) + 10 = -4x + 22$.

Exemple 25. $h(x) = \dfrac{3}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ ($x^2 + 1$ ne s'annule jamais). Avec $v(x) = x^2 + 1$ : $h'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\right) = -\dfrac{6x}{(x^2 + 1)^2}$.

Exemple 26 (fonction tangente). Sur un intervalle où $\cos x \neq 0$, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc $\tan'(x) = \frac{\cos x \times \cos x - \sin x \times (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x.$

Exemple 27. Pour $n$ entier, $n \geq 1$, la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x^n}$ est dérivable sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, de dérivée $-\dfrac{n\,x^{n-1}}{x^{2n}} = -\dfrac{n}{x^{n+1}}$. Par exemple, la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$ est $-\dfrac{2}{x^3}$.

5.4 Dérivée de $x \mapsto f(ax + b)$

Propriété. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, et $a$, $b$ deux réels. La fonction $g : x \mapsto f(ax + b)$ est dérivable en tout réel $x$ tel que $ax + b \in J$, et $g'(x) = a\,f'(ax + b).$ On dérive $f$, on l'évalue en $ax + b$, et on multiplie par $a$.

Explication. Si $a = 0$, $g$ est constante et $g' = 0$. Si $a \neq 0$, on pose $X = ax + b$ et $k = ah$ : $\frac{g(x + h) - g(x)}{h} = \frac{f(X + ah) - f(X)}{h} = a \times \frac{f(X + k) - f(X)}{k}.$ Quand $h$ tend vers $0$, $k$ tend vers $0$, et le taux tend vers $a\,f'(X)$.

Exemple 28.

• $(2x - 1)^5$ a pour dérivée $2 \times 5\,(2x - 1)^4 = 10\,(2x - 1)^4$.
• $\sqrt{3 - 2x}$ a pour dérivée $-2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{3 - 2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{3 - 2x}}$, pour $3 - 2x > 0$, c'est-à-dire sur $\left]-\infty\,;\dfrac32\right[$.
• $\sin\left(2x + \dfrac\pi3\right)$ a pour dérivée $2\cos\left(2x + \dfrac\pi3\right)$.
• $\dfrac{1}{4x + 1}$ a pour dérivée $4 \times \left(-\dfrac{1}{(4x + 1)^2}\right) = -\dfrac{4}{(4x + 1)^2}$, sur chaque intervalle où $4x + 1 \neq 0$.

5.5 Méthode

1. Reconnaître la forme de la fonction : somme, produit, quotient, fonction de $ax + b$.
2. Préciser l'intervalle où elle est dérivable.
3. Appliquer la règle, puis simplifier (factoriser, réduire au même dénominateur) : c'est le signe de la dérivée qui servira ensuite.