Calculer une intégrale

3.1 Avec une primitive

Tout repose sur les primitives des chapitres 2 et 3. Dans le tableau, $u$ est dérivable sur l'intervalle de travail, de dérivée continue.

Méthode. On reconnaît la forme, on fait apparaître $u'$ en ajustant une constante si besoin, puis on écrit la primitive entre crochets.

Exemple 1. $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \Big[\ln(x^2+1)\Big]_0^1 = \ln 2$ : forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$.

Exemple 2. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \left[\frac12 e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$ : forme $u'e^u$ avec $u = x^2$.

Exemple 3. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\cos^2 x\,dx$. Avec $u = \cos x$, $u' = -\sin x$, donc $\sin x\cos^2 x = -u'u^2$ : $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\cos^2 x\,dx = \left[-\frac{\cos^3 x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 - \left(-\frac13\right) = \frac13.$

Exemple 4. $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)^3\,dx = \left[\frac{(2x+1)^4}{8}\right]_0^1 = \frac{81 - 1}{8} = 10$ : forme $f(ax+b)$, une primitive de $u^3$ étant $\frac{u^4}{4}$, et $\frac14 \times \frac12 = \frac18$.

3.2 Transformer l'écriture d'abord

Quand aucune forme n'apparaît, on transforme l'expression. L'énoncé donne en général l'indication.

Exemple 5. Avec $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$ : $\int_0^{\pi} \cos^2 x\,dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}.$

Exemple 6. Pour $x \neq -1$, $\dfrac{x}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$. Donc $\int_0^1 \frac{x}{x+1}\,dx = \Big[x - \ln(x+1)\Big]_0^1 = 1 - \ln 2.$

3.3 Intégration par parties

Théorème. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, de dérivées $u'$ et $v'$ continues sur $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. Alors $\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx.$

Démonstration. La fonction $uv$ est dérivable et $(uv)' = u'v + uv'$, qui est continue. Donc $uv$ est une primitive de $u'v + uv'$ : $\int_a^b \big(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\big)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b.$ On conclut par linéarité.

Méthode.

1. On écrit la fonction à intégrer comme un produit $u \times v'$.
2. On choisit pour $u$ le facteur qui se simplifie quand on le dérive (un polynôme, ou $\ln x$), et pour $v'$ un facteur dont on connaît une primitive $v$ ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$…).
3. On écrit les quatre fonctions $u$, $u'$, $v'$, $v$, puis on applique la formule.

Exemple 7. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$. On pose $u(x) = x$, $v'(x) = e^x$ ; d'où $u'(x) = 1$, $v(x) = e^x$. $\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1.$

Exemple 8. $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$. On pose $u(x) = x$, $v'(x) = \sin x$ ; d'où $u'(x) = 1$, $v(x) = -\cos x$. $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx = \pi + \Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = \pi.$

Exemple 9 (le logarithme). $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$. On écrit $\ln x = \ln x \times 1$ et on pose $u(x) = \ln x$, $v'(x) = 1$ ; d'où $u'(x) = \frac1x$, $v(x) = x$. $\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e \frac1x \times x\,dx = e - (e - 1) = 1.$ Le même calcul, de $1$ à $x$, montre que $x \mapsto x\ln x - x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0;+\infty[$.

Exemple 10 (deux intégrations par parties). $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$. On pose $u(x) = x^2$, $v'(x) = e^x$ ; d'où $u'(x) = 2x$, $v(x) = e^x$. $\int_0^1 x^2e^x\,dx = \Big[x^2e^x\Big]_0^1 - 2\int_0^1 x\,e^x\,dx = e - 2 \times 1 = e - 2,$ en utilisant l'exemple 7 pour la dernière intégrale.

Erreur fréquente. Choisir $u(x) = e^x$ et $v'(x) = x$ dans l'exemple 7 : on obtient $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$, plus compliquée que l'intégrale de départ. Si le calcul se complique, on échange les rôles.